消防站选址算法求解，什么算法实现都行

Question

消防站选址算法求解，什么算法实现都可以，最好有建模，初学者学习，希望得到指点

Answer 1

设 xi = 1 表示在城市 i 建立消防站，xi = 0 表示不在城市 i 建立消防站，i = 1, 2, ..., 5。则优化目标为

再设 aij = 1 表示从城市 i 到城市 j 的时间小于或等于 15 分钟，aij = 0 表示从城市 i 到城市 j 的时间大于15 分钟，于是有约束条件

最后加上自变量的 0-1 整数约束

这就构成了一个 0-1 整数规划问题。对于一个大规模的特别是 NP-hard 的整数规划问题，比较实用的做法是使用启发式算法或元启发式算法求解；而题主所要求解的问题只有区区几个变量，可以使用割平面、分支定界、动态规划等方法求解。以下给出的是使用 Python 的 PuLP 库求解 0-1 整数规划问题的代码，如果题主需要手撕分支定界、割平面算法，那就自己找找了。

import pulp as pl;
import numpy as np;

# 距离矩阵
C =    [[0, 10, 20, 30, 30, 20],
    [10, 0, 25, 35, 20, 10],
    [20, 25, 0, 15, 30, 20],
    [30, 35, 15, 0, 15, 25],
    [30, 20, 30, 15, 0, 14],
    [20, 10, 20, 25, 14, 0]];
C = np.array (C);

# 矩阵 A，表示路程是否在 15 min 以内
A = C <= 15;

# 定义 0 - 1 整数规划问题
problem = pl.LpProblem (sense = pl.LpMinimize);

# 定义自变量
x = [];
for i in range(A.shape[0]):
    x.append(pl.LpVariable ('City' + str(i+1), cat='Binary'));

# 定义目标函数
obj = 0;
for var in x:
    obj += var;
problem += obj;

# 添加约束条件
for j in range(A.shape[1]):
    expression = 0;
    for i in range(A.shape[0]):
        expression += (A[i, j] * x[i])
    problem += (expression >= 1);

# 求解
problem.solve();
# 求解状态（是否成功）
print ("status: " + pl.LpStatus[problem.status]);
# 输出结果
print ("Optimal value = %f" % (pl.value(problem.objective)));
for i in range(len(x)):
    print ("x%d = %d" % (i+1, pl.value(problem.variables()[i])));

输出结果：
status: Optimal
Optimal value = 2.000000
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 0
x4 = 1
x5 = 0
x6 = 0