请问为什么会得出任何入射角都有|R^TE|＞|R^TM|这个结论，求证明过程

Question

如上图，请问为什么会得出任何入射角都有|R^TE|＞|R^TM|这个结论，求证明过程！

Answer 1

该回答引用ChatGPT，望对题主有所帮助/启发；若有帮助，还望采纳。

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这个结论可以通过Fresnel方程的矢量形式推导得出。

Fresnel方程描述了光在介质界面上的反射和折射。假设光线从介质1（空气或真空）射向介质2，入射角为θ1，折射角为θ2，反射系数和透射系数可分别表示为：

$$r_s=\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}$$

$$r_p=\frac{n_2\cos\theta_1-n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}$$

$$t_s=\frac{2n_1\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}$$

$$t_p=\frac{2n_1\cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}$$

其中，Rs和Rp分别表示s波和p波的反射系数；Ts和Tp分别表示s波和p波的透射系数；n1和n2分别表示介质1和介质2的折射率。

对于垂直入射的情况，θ1=0，所有波的反射系数和透射系数均为：

$$r_s=r_p=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}, t_s=\frac{2n_1}{n_1+n_2}, t_p=\frac{2n_1}{n_2+n_1}$$

现在考虑一般的入射角。对于s波和p波，分别有：

$$R_s=r_se^{i\phi_s}, R_p=r_pe^{i\phi_p}$$

其中，ϕs和ϕp表示反射波的相位。由于反射系数和透射系数仅与入射角和介质折射率有关，因此可将入射光的电场表示为：

$$\vec{E_i}=\vec{E_0}e^{i(\vec{k_i}\cdot\vec{r}-\omega t)}=\vec{E_s}+\vec{E_p}$$

其中，E0表示入射光的振幅，ks和kp分别表示s波和p波的波矢量。根据Fresnel公式，反射光和透射光的电场分别为：

$$\vec{E_r}=R_s\vec{E_s}+R_p\vec{E_p}$$

$$\vec{E_t}=t_s\vec{E_s}+t_p\vec{E_p}$$

将入射波的电场表示为矢量和的形式，代入上式并考虑到$s$波和$p$波的分离性，有：

$$\vec{E_r}=E_{0s}r_se^{i(\vec{k_s}\cdot\vec{r}-\omega t+\phi_s)}\hat{s}+E_{0p}r_pe^{i(\vec{k_p}\cdot\vec{r}-\omega t+\phi_p)}\hat{p}$$

$$\vec{E_t}=E_{0s}t_se^{i(\vec{k_s}\cdot\vec{r}-\omega t)}\hat{s}+E_{0p}t_pe^{i(\vec{k_p}\cdot\vec{r}-\omega t)}\hat{p}$$

其中，E0s和E0p分别表示s波和p波的振幅，$\hat{s}$和$\hat{p}$分别表示s波和p波的偏振方向。由于入射波垂直于介质界面，在反射和折射过程中，s波和p波的偏振方向均保持不变。

因此，对于任意入射角，有：

$$|R^{TE}|=|\frac{E_{0s}r_s}{E_{0s}}|=|r_s|=|\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}|$$

$$|R^{TM}|=|\frac{E_{0p}r_p}{E_{0p}}|=|r_p|=|\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}|$$

其中，θi和θt分别表示入射角和折射角。显然，上式中分母的值均为正数，因此只需比较分子的绝对值大小即可。由于n1和n2的大小关系，当入射角等于或大于某一临界角时，折射角将变为90度，此时|Rs|=|Rp|=1，|Ts|=|Tp|=0。因此，对于任意角度的入射光，总有|RTE|>|RTM|。