网络流：宇宙旅行用C语言或C++实现

Question

网络流:宇宙旅行题目要求:
在走遍了地球上的所有景点以后，旅游狂人开始计划他的宇宙旅行项目。经过谨慎调查，他目前掌握了一张各卫星空间站可以临时容纳的旅客人数列表。但旅客从一个星球飞往另一个星球时，需要在若干卫星空间站临时停靠中转，而这些空间站不能接待任何旅客驻留.旅客必须立刻转乘另一艘飞船离开，所以空间站不能接待超过自己最大容量的旅客流。为了估计预算，现在旅游狂人需要知道终点星球的接待站应该设计多大容量，才能使得每艘飞船在到达时都可以保证让全部旅客下船。输入要求:
输入若干组测试数据组成。
每组测试数据的第1行包含旅行的起点星球和终点星球的名称和一个不超过500的正整数N(N为0标志全部测试结束，不要对该数据做任何处理)。
接下来的N行里，数据格式为:sourcei capacityr，其中source:和 destination;是卫星空间站的名称或起点、终点星球的名称，正整数capacity:是飞船从source:到destination一次能运载的最大旅客流量。每个名称是由 A~Z之间三个大写字母组成的字符串，例如:ZJU。
测试数据中不包含任何到达起点星球的信息以及任何从终点星球出发的信息。输出要求:
对每一组测试，在一行里输出终点星球接待站应具有的最小容量，使得每艘飞船在到达时都可以保证让全部旅客下船。

Answer 1

【以下回答由 GPT 生成】

这个问题需要使用最大流算法来求解。最经典且常用的最大流算法是Ford-Fulkerson算法，也可以使用其变种算法，如Edmonds-Karp算法或Dinic算法。

具体的解决方案如下：

1. 首先，需要定义一个图的数据结构来表示星球和卫星空间站之间的关系。可以使用邻接矩阵或邻接表来表示。

2. 然后，需要根据输入数据构建这个图。对于每组测试数据，根据卫星空间站的名称和容量构建图的结构。起点星球和终点星球也可以看作是特殊的卫星空间站，它们容量可以设置为无穷大。同时，需要记录每个节点的id，以便后续使用。可以使用哈希表来实现节点id的映射。

3. 接下来，需要实现一个最大流算法来求解网络流问题。可以使用Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法或Dinic算法中的任意一种。这些算法的核心思想是不断寻找增广路径，并更新流量。

4. 在求解最大流的过程中，需将起点星球和终点星球作为源点和汇点，给它们设定一个很大的容量，以保证所有旅客都能够从起点星球被运送到终点星球。

5. 在每组测试数据求解完之后，输出终点星球接待站应具有的最小容量，即为求解得到的最大流的值。

下面是使用C++实现的代码参考：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;

// 结点数据结构
struct Node {
    string name;            // 结点名称
    int id;                 // 结点id
    unordered_map<int, int> neighbors;  // 相邻结点及其边的容量
};

// 图数据结构
class Graph {
private:
    vector<Node> nodes;     // 结点列表
    unordered_map<string, int> nodeIdMap;   // 结点id映射

public:
    void addNode(const string& name) {
        nodes.push_back({name, nodes.size()});
        nodeIdMap[name] = nodes.size() - 1;
    }

    void addEdge(const string& src, const string& dest, int capacity) {
        nodes[nodeIdMap[src]].neighbors[nodeIdMap[dest]] = capacity;
    }

    int fordFulkerson(int source, int sink) {
        int maxFlow = 0;

        // 创建残余图，初始值与原图相同
        vector<vector<int>> residualGraph(nodes.size(), vector<int>(nodes.size()));
        for (int i = 0; i < nodes.size(); i++) {
            for (const auto& neighbor : nodes[i].neighbors) {
                residualGraph[i][neighbor.first] = neighbor.second;
            }
        }

        // 寻找增广路径，直到无法找到为止
        while (bfs(source, sink, residualGraph)) {
            // 初始化路径上的最小剩余容量为无穷大
            int pathCapacity = INT_MAX;

            // 在增广路径上更新最小剩余容量
            for (int u = sink; u != source; u = parent[u]) {
                int v = parent[u];
                pathCapacity = min(pathCapacity, residualGraph[v][u]);
            }

            // 在增广路径上更新残余容量和反向边的容量
            for (int u = sink; u != source; u = parent[u]) {
                int v = parent[u];
                residualGraph[v][u] -= pathCapacity;
                residualGraph[u][v] += pathCapacity;
            }

            // 增加当前路径上的流量
            maxFlow += pathCapacity;
        }

        return maxFlow;
    }

private:
    vector<bool> visited;
    vector<int> parent;

    bool bfs(int source, int sink, const vector<vector<int>>& residualGraph) {
        visited = vector<bool>(nodes.size(), false);
        parent = vector<int>(nodes.size(), -1);

        queue<int> q;
        q.push(source);
        visited[source] = true;

        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();
            q.pop();

            for (int v = 0; v < nodes.size(); v++) {
                if (!visited[v] && residualGraph[u][v] > 0) {
                    q.push(v);
                    parent[v] = u;
                    visited[v] = true;

                    if (v == sink) {
                        return true;
                    }
                }
            }
        }

        return false;
    }
};

int main() {
    string src, dest;
    int N;

    while (cin >> src >> dest >> N && N != 0) {
        Graph graph;
        graph.addNode(src);
        graph.addNode(dest);

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            string station, source, destination;
            int capacity;
            cin >> station >> source >> destination >> capacity;
            graph.addNode(station);
            graph.addEdge(source, station, capacity);
            graph.addEdge(station, destination, capacity);
        }

        int sourceId = graph.getNodeId(src);
        int sinkId = graph.getNodeId(dest);

        int minCapacity = graph.fordFulkerson(sourceId, sinkId);
        cout << minCapacity << endl;
    }

    return 0;
}

这是使用C++实现的代码，它包括了图的数据结构和最大流算法的实现。首先定义了两个结构体，分别表示结点和图。图包括了添加结点和添加边的方法，并且实现了Ford-Fulkerson算法来求解最大流。在main函数中，根据输入的测试数据构建图，并求解每组测试数据的最大流，最后输出结果。

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