汉宁窗重叠率对幅值的影响

Question

汉宁窗hanning的重叠率对FFT幅值、功率谱密度幅值和传递函数幅值有什么影响呢？
要求matlab举例验证。

Answer 1

引自强大而免费的微信小程序：皆我百晓生。

exp1:
汉宁窗的重叠率（又称为窗口重叠因子）指的是在相邻窗口之间重叠的采样点的数量。重叠率决定了频谱分析的分辨率以及频谱估计的准确性。

对FFT幅值的影响：
重叠率越高，可以提高频谱分析的频率分辨率，但会减小每个频率成分的观测时间和振幅，因此可能会降低频谱估计的准确性。重叠率越低，提高了每个频率成分的观测时间和振幅，但会降低频率分辨率。因此，重叠率与频率分辨率之间存在权衡关系。

对功率谱密度幅值的影响：
重叠率越高，能够减少频谱估计的方差，提高功率谱密度的准确性。重叠率越低，估计的功率谱密度可能会出现较大的方差，因此降低了估计的准确性。

对传递函数幅值的影响：
重叠率对传递函数的幅值关系影响较小，主要是由于重叠率的变化对窗函数的形状产生影响。但通常情况下，选择合适的重叠率可以提供更好的频谱估计，从而更准确地估计传递函数的幅值。

下面是一个用MATLAB验证重叠率对频谱估计的影响的例子：

fs = 1000; % 采样率
t = 0:1/fs:1; % 时间范围
f1 = 50; % 第一个频率成分
f2 = 100; % 第二个频率成分
x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % 合成两个正弦波信号

window_length = 512; % 窗口的长度
overlap_ratio = 0:0.1:0.9; % 重叠率变化范围

% 不同的重叠率对应的频谱估计
for i = 1:length(overlap_ratio)
    window = hanning(window_length, 'periodic'); % 汉宁窗
    [pxx, f] = pwelch(x, window, overlap_ratio(i)*window_length, [], fs); % 功率谱密度估计
    plot(f, 10*log10(pxx), 'DisplayName', sprintf('Overlap ratio: %.1f', overlap_ratio(i)))
    hold on
end

xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Power Spectral Density (dB/Hz)')
title('Effect of Overlap Ratio on Power Spectral Density')
legend('show')
grid on

运行上述代码，将会绘制不同重叠率下的功率谱密度估计结果。可以观察到，随着重叠率的增加，功率谱密度估计的方差减小，准确性增加。

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exp2:
汉宁窗(hanning window)是一种常用的平滑窗函数，其中重叠率是指每个窗口之间的重叠部分所占窗口长度的比例。重叠率的大小会对信号分析的结果产生影响。

下面是使用matlab对不同重叠率的汉宁窗应用于信号的例子，验证不同重叠率对FFT幅值、功率谱密度幅值和传递函数幅值的影响：

% 生成测试信号
Fs = 1000; % 采样率
T = 1/Fs; % 采样周期
L = 1000; % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间向量
f = 50; % 信号频率
S = 0.7*sin(2*pi*f*t) + 0.3*sin(2*pi*2*f*t); % 信号

% 不同重叠率的汉宁窗应用于信号
overlap_ratios = [0, 0.25, 0.5, 0.75]; % 不同重叠率
NFFT = 2^nextpow2(L); % FFT长度

for i = 1:length(overlap_ratios)
    overlap_ratio = overlap_ratios(i);
    window = hann(L, 'periodic'); % 汉宁窗
    
    % 应用汉宁窗并计算FFT幅值谱
    [S_f, f] = periodogram(S, window, NFFT, Fs, 'power', 'onesided');
    subplot(4, 1, 1), plot(f, 10*log10(S_f)), hold on
    xlabel('频率(Hz)')
    ylabel('FFT幅值谱(dB)')
    title('不同重叠率下的FFT幅值谱')
    
    % 计算功率谱密度幅值
    [Pxx, f] = pwelch(S, window, round(overlap_ratio*L), NFFT, Fs, 'onesided');
    subplot(4, 1, 2), plot(f, 10*log10(Pxx)), hold on
    xlabel('频率(Hz)')
    ylabel('功率谱密度幅值(dB/Hz)')
    title('不同重叠率下的功率谱密度幅值')
    
    % 计算传递函数幅值
    H = fft(window, NFFT);
    f = linspace(0, Fs/2, length(H)/2+1); % 修正频率向量的长度
    subplot(4, 1, 3), plot(f, 20*log10(abs(H(1:length(H)/2+1)))), hold on
    xlabel('频率(Hz)')
    ylabel('传递函数幅值(dB)')
    title('不同重叠率下的传递函数幅值')
end

legend('0', '0.25', '0.5', '0.75')

上述代码中，使用periodogram函数计算信号的FFT幅值谱，使用pwelch函数计算功率谱密度幅值，使用fft函数计算汉宁窗的传递函数幅值。被应用汉宁窗的信号长度L为1000，FFT长度NFFT取大于L的最小2的幂次方，采样率Fs为1000Hz，信号频率f为50Hz。通过改变overlap_ratios变量来设置不同的重叠率。

最后通过绘制不同重叠率下的FFT幅值谱、功率谱密度幅值和传递函数幅值，对比不同重叠率对这些幅值的影响。

代码运行后将生成包含不同重叠率下的FFT幅值谱、功率谱密度幅值和传递函数幅值的图形。可以观察到，较大的重叠率会导致频谱的平滑，较小的重叠率会导致频谱的分辨率增加。同时，重叠率不同也会对传递函数的幅值产生影响。

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exp3:
汉宁窗（Hanning Window）是一种常用的平滑窗函数，用于减少频谱泄露（spectral leakage）和减小频谱峰值的削弱。重叠率指的是相邻窗口之间的重叠部分的比例。

重叠率的选择会影响到FFT幅值、功率谱密度幅值和传递函数幅值。较高的重叠率会增加窗口之间的重叠部分，从而提高频谱的分辨率和平滑性。具体影响为：

1. FFT幅值：较高的重叠率会减小窗口之间的间隔，从而增加FFT的输入信号长度，使得输出的幅值频谱有更高的分辨率。同时，通过增加重叠率来减小频谱泄露，可以提高幅值谱的精确性。

2. 功率谱密度幅值：较高的重叠率可以减小窗函数的频谱泄露，使得功率谱密度估计更准确。因此，使用较高重叠率的汉宁窗可以得到更精确的功率谱密度幅值估计。

3. 传递函数幅值：传递函数是将输入信号频谱映射到输出信号频谱的函数。较高的重叠率减小了频谱泄露，可以提高传递函数幅值的准确性和稳定性。

以下是使用MATLAB验证重叠率对幅值的影响的示例：

% 生成输入信号
Fs = 1000; % 采样频率
T = 1/Fs; % 采样周期
L = 1000; % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间向量
f = 50; % 信号频率
x = sin(2*pi*f*t); % 输入信号

% 不同重叠率下的汉宁窗处理
overlap_ratios = [0, 0.25, 0.5, 0.75]; % 不同重叠率
window_length = 256; % 窗口长度
noverlap = round(window_length * overlap_ratios); % 重叠长度

for i = 1:length(overlap_ratios)
    % 使用汉宁窗进行FFT幅值谱估计
    [pxx, f] = pwelch(x, window_length, noverlap(i), [], Fs, 'power');
    
    % 绘制幅值谱
    figure
    plot(f, 10*log10(pxx))
    title(sprintf('Hanning Window, Overlap Ratio = %.2f', overlap_ratios(i)))
    xlabel('Frequency (Hz)')
    ylabel('Power Spectral Density (dB/Hz)')
end

运行以上代码，将会得到四个幅值谱图，分别对应重叠率为0、0.25、0.5和0.75的情况。可以观察到，较高的重叠率会得到更加平滑的幅值谱，且频谱峰值不再受到明显削弱。