一道概率论与数理统计中的几何概率问题

Question

在单位正方形上随机选取两点，求这两点的距离大于1/2的概率?

Answer 1

这个题感觉有点难度啊，我想是不是得用积分来做。
先把这个正方形放在坐标系里，四个点坐标依次是(0, 0), (0, 1),(1, 0),(1, 1)
先考虑第一个点，它落在4条边的概率是相等的，所以我们不妨假设它就落在(0,0)-(1,0)这条边上吧，等计算出这个情况的概率后再乘以4就行。
假设第一个点的坐标是(x,0)，它落在这个点的概率是1*dx，这里1是概率密度函数(等概率分布)，dx是一个无穷小量用于积分的，那么当x<1/2的时候，可以计算出来以它为圆心，1/2为半径的圆和y轴交点，记做(0,y)，其中y的大小可以用勾股定理计算得到，即y是x的一个函数，此时对应的第二个点的概率就是(x+y)/4，其中1/4是第二个点的概率密度函数(四条边等概率分布)，而(x+y)是距离小于1/2的落点长度，因为y是x的函数，所以用x的表达式代入之后可以对x积分。当x>1/2的时候，这个圆会和x=1这条直线有交点，同样的计算出交点并计算出距离小于1/2的落点长度，并积分。不过大于1/2其实和小于1/2是对称的，两个概率是相等的，也可以直接用前面的结果就行。这样就可以得到答案了，记得最后乘以4