Stolz定理的应用

Question

如题例1.2.3，裴砖上的题，可以用定义证，也可用Stolz，那么怎么用Stolz定理证明呢？

Answer 1

Stolz定理是实分析中用于求解数列极限的一个有用工具，特别是当数列的形式类似于分数且分母趋向于无穷大时。Stolz定理是对可数无穷序列的 Cesàro 平均的一种类比，可以看作是无穷序列版的洛必达法则。

Stolz定理的一个版本是：如果 {x_n} 和 {y_n} 是两个实数序列，并且 {y_n} 严格单调递增趋向于正无穷，那么如果存在极限 lim (x_n - x_(n-1)) / (y_n - y_(n-1)) = L （当 n 趋向于无穷大时），则 lim x_n / y_n = L 也成立。

在提供的题目中，看起来想使用 Stolz 定理来证明某个极限。根据提供的图片，题目要求证明某个形如 x_n / n 的数列的极限是 0。尽管图片中的内容不是完全清晰，但是基于 Stolz 定理，可以按照以下步骤来证明：

1、识别适用Stolz定理的条件：确保 y_n 序列（在这种情况下是 n）严格单调递增并趋向于正无穷。

2、计算分子的差分：计算序列 {x_n} 的相邻项之差，即计算 x_n - x_(n-1)。

3、计算分母的差分：由于分母是 n，y_n - y_(n-1) 就简单地等于 1。

4、应用Stolz定理：证明 lim (x_n - x_(n-1)) = 0。如果能够证明这一点，那么根据 Stolz 定理，lim x_n / n = 0 也就得到了证明。