帮助小明制定健康食谱

Question

问题描述
小明同学想要控制自己的体重，为此他决定制定一个健康膳食计划，其目标是在保证身体必须的营养的前提下尽量少吃东西，由于每天能买到的食物种类众多，每种食物含有的营养物质又各不相同，所以他想要利用计算机帮助自己规划每日健康食谱，请你用所学《数据与算法》的知识帮助小明同学制定他的健康食谱。
输入格式
输入由三部分组成：
第1行前两个整数分别表示当日需要的营养物质种类数 N 和当日可以买到的食物种类数 M，其中 1<=N<=16，16种营养物质分别用编号0到15表示。
1<=M<=216=65536，后 M 个整数分别表示当日能买到的 M 种食物各自对应的营养物质种类的数量；
第2行为 N 个整数，表示当日需要的营养物质列表，按数字大小升序排列；
第3到M+2行为每种食物自己含有的营养物质列表，按数字大小升序排列，且食物自身的序号按行数从上到下依次编为0到M - 1号，需要注意，食物中可能含有当日不需要的营养物质，对于此类营养物质可以摄入也可以不摄入。
输出格式
输出为1行，为当日计划吃的食物，用空格分隔，且按数字大小升序排列，如果没有合适的食谱，则输出-1，题目数据保证如果有解，则解是唯一的。
输入样例
3 3 1 1 2
1 4 6
1
4
4 6
输出样例
0 2
提示

1. 采用动态规划方法求解，得到满足营养需求的最佳食物组合（即所需食物数量最小的组合）；
2. 可以使用unsigned short ntemp[16]记录当日需要的营养物质列表；
3.  可以考虑采用位运算提升程序效率，比如输入的营养序号为2和3，则将它们转化为二进制数0100和1000，可以使用unsigned short N 表示需要的营养物质列表的二进制数1100（对应的十进制数为12）；
4. DP更新策略：
       a. 对于每种营养需求状态 s，我们遍历从65535到1的整数 s，表示我们按照从高位到低位的顺序依次考虑每一种营养物质;
       b. 遍历所有的食物：对于每个食物，判断它是否包含当前状态 s 所需的营养物质。如果使用当前食物可以得到一个更优的解，更新该状态 s 下的相关数组。

Answer 1

由人工智能，参考如下
以下是一个使用动态规划的 C++ 实现。这个实现使用了位运算来表示每天需要的营养物质的状态。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 16;
const int MAX_M = 65536;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;

    vector<int> foodNutrition(M, 0);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int num;
        cin >> num;
        for (int j = 0; j < num; ++j) {
            int nutrient;
            cin >> nutrient;
            foodNutrition[i] |= (1 << nutrient);  // 使用位运算记录食物包含的营养物质
        }
    }

    vector<int> requiredNutrition(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> requiredNutrition[i];
    }

    int dp[MAX_M];
    int choice[MAX_M];

    fill(dp, dp + MAX_M, -1);
    dp[0] = 0;

    for (int s = 1; s < (1 << N); ++s) {
        for (int i = M - 1; i >= 0; --i) {
            int nextState = s | foodNutrition[i];
            if (dp[nextState] == -1 || dp[nextState] > dp[s] + 1) {
                dp[nextState] = dp[s] + 1;
                choice[nextState] = i;
            }
        }
    }

    if (dp[(1 << N) - 1] == -1) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        vector<int> result;
        int state = (1 << N) - 1;
        while (state != 0) {
            result.push_back(choice[state]);
            state ^= foodNutrition[choice[state]];  // 移除已选择的食物包含的营养物质
        }
        sort(result.begin(), result.end());
        for (int i = 0; i < result.size(); ++i) {
            cout << result[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

这个实现中，foodNutrition[i] 使用位运算记录了每种食物包含的营养物质。dp 数组记录了每种状态下的最小食物数量，choice 数组记录了在每种状态下选择的食物。

请注意，这里的状态是用二进制表示的，表示当日需要的营养物质的集合。然后通过动态规划，逐步计算出满足每种状态下最小的食物数量。最终，通过回溯找到满足所有需求的食物组合。