什么情况下\sup_{x\in A}\sup_{y\in B}f(x,y)=\sup_{y\in B}\sup_{x\in A}f(x,y)？

Question

什么情况下\sup_{x\in A}\sup_{y\in B}f(x,y)=\sup_{y\in B}\sup_{x\in A}f(x,y)？

Answer 1

在以下情况下，\sup_{x\in A}\sup_{y\in B}f(x,y)=\sup_{y\in B}\sup_{x\in A}f(x,y)：

1. 当A和B都是有限集合，且f(x,y)在A×B上取值是有限的。
2. 当A和B都是可数无限集合，且f(x,y)在A×B上取值是有限的。
3. 当A和B都是连续域，且f(x,y)是连续函数。

注意：以上情况假设了f(x,y)在A×B上的取值是有限的。如果f(x,y)在A×B上取值是无限的，那么\sup_{x\in A}\sup_{y\in B}f(x,y)和\sup_{y\in B}\sup_{x\in A}f(x,y)可能不相等。