这个要用一维热方程但是我不知道怎么运用这个公式

Question

Consider a rod of length 1 m maintained at 200℃ at one end. The other end if open and assume that the rod is insulated from all the sides, so heat only flows along the length (x-axis). Use D=4.25e-4.
Solve the 1 D heat equation to update the temperature of the rod for 1 hour. Take dt=0.1 min and dx=1 cm.
Pay attention to make sure you update the cold end of the rod as well.
Plot (use subplots) T vs. x and Tmid vs. t
(Tmid is the temperature of the mid point of the rod)
想问一下这个怎么弄

Answer 1

引自强大而免费的微信小程序：皆我百晓生。

首先，我们可以使用一维热传导方程来解决这个问题。该方程可以表示为：

∂T/∂t = D * ∂^2T/∂x^2

其中T是温度，t是时间，x是位置，D是热扩散系数。

根据题目给出的条件，我们可以将问题离散化为网格，然后使用差分方法来逼近偏微分方程。

首先，定义一些变量和参数：

D = 4.25e-4  # 热扩散系数
L = 1.0  # 杆的长度
T0 = 200  # 杆的一端的温度
t_max = 60  # 时间步数，即1小时
dt = 0.1  # 时间步长，0.1分钟
dx = 0.01  # 空间步长，1cm

接下来，我们可以创建一个时间和空间点的网格。时间网格取决于时间步数和时间步长，空间网格取决于杆的长度和空间步长：

import numpy as np

Nt = int(t_max / dt) + 1  # 时间步数
Nx = int(L / dx) + 1  # 空间步数

t = np.linspace(0, t_max, Nt)  # 时间点
x = np.linspace(0, L, Nx)  # 空间点

现在，我们可以初始化温度矩阵T，将一端的温度设置为T0，其余部分设置为0：

T = np.zeros((Nt, Nx))  # 温度矩阵
T[0, :] = T0  # 杆的一端温度为T0，其余部分为0

然后，我们可以通过迭代计算来更新温度矩阵T。根据差分公式，我们可以使用以下代码：

for n in range(Nt - 1):
    for i in range(1, Nx - 1):
        T[n + 1, i] = T[n, i] + D * (dt / dx**2) * (T[n, i + 1] - 2 * T[n, i] + T[n, i - 1])

在每个时间步长n和空间位置i的循环中，通过使用差分公式逼近热传导方程，计算下一个时间步长的温度。

最后，我们可以绘制T vs. x和Tmid vs. t的图形来可视化结果：

import matplotlib.pyplot as plt

Tmid = T[:, int(Nx / 2)]  # 中点的温度

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, T[0, :], label='t=0 min')
plt.plot(x, T[int(Nt / 2), :], label='t=30 min')
plt.plot(x, T[-1, :], label='t=60 min')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('T')
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, Tmid)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('Tmid')

plt.tight_layout()
plt.show()

这样，我们就可以得到T vs. x和Tmid vs. t的图形。