椭圆曲线公钥密码加密与解密

Question

椭圆曲线公钥密码
实验目的： 利用教材10.4节所给出的方法，编程实现椭圆曲线的加/解密。
该密码体制的参数是E11=(1,6)和G=(2,7)，B的私钥nB=7。
（a）找出B的公钥PB。
（b）A要加密消息Pm=(10,9)，其选择的随机值k=3，试确定密文Cm。
试给出B由Cm恢复Pm的计算过程。
这咋整啊？我都没教材，它的计算规则是啥都不知道。

Answer 1

在这个实验中，我们将使用椭圆曲线密码学进行加密和解密。首先，我们需要理解椭圆曲线密码学的基础知识，然后我们可以用这些知识来编程实现加密和解密过程。

参数

我们的参数是E11=(1,6)，G=(2,7)，B的私钥nB=7。

步骤

找出B的公钥PB
B的公钥PB可以通过下面的公式计算：

PB = nB * G mod E11

这里，G是基点，nB是B的私钥，E11是椭圆曲线。计算结果就是B的公钥。

A要加密消息Pm=(10,9)
A要加密的消息Pm=(10,9)，选择的随机值k=3。我们可以使用下面的公式来计算密文Cm：

Cm = k * PB mod E11

这里，PB是B的公钥，k是A选择的随机值，E11是椭圆曲线。计算结果就是密文Cm。

B由Cm恢复Pm的计算过程
B可以从密文Cm恢复消息Pm，使用下面的公式：

Pm = Cm * nB^-1 mod E11

这里，nB是B的私钥，Cm是密文，E11是椭圆曲线。计算结果就是恢复的消息Pm。

代码实现

下面是一个Python代码示例，实现了上述步骤：

```python
# 导入需要的库  
from sympy import symbols, Eq, solve, mod_inverse  
  
# 定义椭圆曲线参数  
a, b, p = symbols('a b p')  
E11 = a*p**2 + b*p + 6  # 根据题目给出的椭圆曲线方程进行替换  
G = 2, 7  # 根据题目给出的基点进行替换  
nB = 7  # 根据题目给出的B的私钥进行替换  
PB = nB * G[0], nB * G[1]  # 计算B的公钥  
Cm = 3 * PB[0], 3 * PB[1]  # 假设A选择的随机值k=3，计算密文Cm  
Pm = Cm[0] * mod_inverse(nB, p) % E11[0], Cm[1] * mod_inverse(nB, p) % E11[1]  # B从密文Cm恢复消息Pm的计算过程  
print(f"B的公钥PB为：{PB}")  
print(f"A加密的消息密文Cm为：{Cm}")  
print(f"B从密文Cm恢复的消息Pm为：{Pm}")

```
注意：这个代码示例假设了椭圆曲线方程和基点，你需要根据题目给出的具体参数进行替换。此外，这个代码示例没有包括错误处理和异常处理，你可能需要在实际使用中添加这些功能