大学数学《概率论与数理统计》

Question

在单位圆上随机独立选取三个点构成一个三角形,求该三角形每条边长都小于1的概率?

Answer 1

要计算单位圆上随机独立选取三个点构成一个三角形，且每条边长都小于1的概率，可以使用概率论的知识和几何的思路来解决。

解题思路如下：

单位圆的半径为1，因此我们只需要关注三角形的边长即可。

假设我们随机选择三个点，分别为A、B和C，这三个点的坐标表示为(xA, yA)，(xB, yB)和(xC, yC)。

根据三角形的边长公式，我们可以计算得到三边的长度：

边AB的长度dAB = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2)
边AC的长度dAC = sqrt((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2)
边BC的长度dBC = sqrt((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2)
如果三角形的每个边长都小于1，则需要满足以下条件：

dAB < 1
dAC < 1
dBC < 1
我们可以将三角形的边长构成的空间表示为一个正方形，该正方形的边长为2（即[-1, 1]的范围），中心为原点。任何在这个正方形内的三个点都构成一个三角形。

因此，我们只需要计算正方形内部满足条件的三个点的数量，然后除以正方形内所有可能的三个点的数量，即可得到所求概率。

计算概率的过程可以通过蒙特卡洛模拟来实现。也即，我们随机生成大量的三个点，统计满足条件的点的数量。最终，将满足条件的点的数量除以总点数，即可得到所求概率的近似值。