为什么这两个解析解严格相等？

Question

为什么这两个解析解严格相等？

6 tan (pai/4 - 1/2 arctan(1/3))
2 sqrt(10) - 2

Answer 1

嗨，我是小 明，2022年度博客之星TOP3，大厂后端研发专家
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-表达式1：6 tan (π/4 - 1/2 arctan(1/3))
首先，需要知道tan(pi/4) = 1；然后，tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))。
所以这个表达式可以化简为：
6 * [(1 - tan(1/2 arctan(1/3))) / (1 + 1tan(1/2 arctan(1/3)))]
= 6 * [(1 - sqrt((1 - cos(arctan(1/3)))/(1 + cos(arctan(1/3))))) / (1 + sqrt((1 - cos(arctan(1/3)))/(1 + cos(arctan(1/3)))))]
因为cos(arctan(x)) = 1/sqrt(1+x^2)，所以上述公式继续化简为：
= 6 * [(1 - sqrt((1 - 3/sqrt(10))/(1 + 3/sqrt(10)))) / (1 + sqrt((1 - 3/sqrt(10))/(1 + 3/sqrt(10))))]
= 6 * [sqrt(10) - 2] / [sqrt(10) + 2]
两边同时乘以sqrt(10)，得到
= 6 * [10 - 2sqrt(10)] / [10]
= 6 * (10 - 2sqrt(10))
= 60 - 12sqrt(10)
-表达式2：2 sqrt(10) - 2
这个表达式已经是最简形式了，并且它的值等于2*sqrt(10) - 2。