大物（下）量子 问题答疑

Question

1. 一只质量是1.5mg的蚊子在你身旁5m宽、3m高的空间内讨厌地、嗡嗡地飞来飞去，利用海森堡不确定关系可以计算出这只蚊子在水平方向速度的不确定量是：
2. 某原子在其亚稳态的平均寿命是5.2ms，则原子在该状态能量的不确定量是：
3. 质子在某一维方向的空间位置不确定量是0.20mm，假设质子速度的不确定量是其速度的1%，则该质子的运动速度为：
4. 电子在某一维方向的空间位置不确定量是0.20mm，假设电子速度的不确定量是其速度的1%，则该电子的运动速度为：
5. 假设一辆重量是1200kg的轿车其质心在某一维方向的空间位置不确定量是1um，则根据海森堡不确定关系可知，其质心在该方向的速度不确定量为：

Answer 1

1. 根据海森堡不确定关系，位置和动量的不确定性满足以下关系：
   $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$
   其中，$\Delta x$ 是位置的不确定量，$\Delta p$ 是动量的不确定量，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

   对于蚊子在水平方向的速度，可以用其质量$m$和速度$v$表示动量$p$，即$p = m \cdot v$。所以，问题中的关系可以写为：
   $$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{\hbar}{2m}$$

   将已知数据代入，质量$m = 1.5 \times 10^{-6}$ kg，空间宽度$\Delta x = 5$ m，可以计算出蚊子在水平方向速度的不确定量$\Delta v$。

2. 对于能量和时间的不确定性关系：
   $$\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$

   由于能量$E$和频率$f$的关系是$E = hf$，其中$h$是普朗克常数，所以也可以写为：
   $$\Delta f \cdot \Delta t \geq \frac{1}{4\pi}$$

   平均寿命$\Delta t$是5.2 ms，可以计算出频率的不确定量$\Delta f$，再利用$E = hf$计算出能量的不确定量$\Delta E$。

3. 对于质子的运动速度，可以利用动量和质量的关系：
   $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$

   质子的动量$p$为$m \cdot v$，代入得到：
   $$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{\hbar}{2}$$

   已知$\Delta x = 0.20$ mm，质子速度的不确定量为其速度的1%，可以计算出质子的运动速度。

4. 对于电子的运动速度，同样可以利用动量和质量的关系：
   $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$

   电子的动量$p$为$m \cdot v$，代入得到：
   $$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{\hbar}{2}$$

   已知$\Delta x = 0.20$ mm，电子速度的不确定量为其速度的1%，可以计算出电子的运动速度。

5. 对于轿车的质心速度，同样可以利用动量和质量的关系：
   $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$

   质心速度$v$为$\frac{\Delta x}{\Delta t}$，代入得到：
   $$\Delta x \cdot m \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} \geq \frac{\hbar}{2}$$

   已知$\Delta x = 1$ μm，质心在某一维方向的速度不确定量可以计算出来。