数学数列问题，求Sn

Question

第三题的第二问没看懂，从求2Sn开始，还有就是
Sn-2Sn的过程是怎么来的？希望会的人可以把解题过程讲详细点标签随便打的

Answer 1

所谓的错位相减方法，一般如果一个通项可以表示为一个等差数列（an=n）和等比数列（bn=2^n）相乘的时候（即cn=an*bn），常用的求和方法。具体流程其实解答里已经写清楚了，只是可能没看出来：
1、将cn的前n项和用展开方式表示：
Sn=1×2^1+2×2^2+3×2^3+...+n×2^n
2、对上面的Sn等式，左右两边同时乘以等比数列部分的公比q，对于这道题q=2，所以：
2Sn=1×2^2+2×2^3+3×2^4+.....+n×2^(n+1)
可以增加一个0×2^1不改变结果：
2Sn=0×2^1+1×2^2+2×2^3+3×2^4+.....+n×2^(n+1)
3、对1和2中得到的式子做减法，这里减的时候，实际上就是消去了等差数列，使得右侧几乎变成了一个等比数列求和，可以用公式的那种。用下表分别看按照等比数列的指数次数划分，注意观察他们的系数变化，对应相减之后，从结果上去掉了等差数列的差值，除了两端的项，中间指数项系数都会变成1，使得后续可以用等比数列求和公式。

指数	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	...	2^n	2^(n+1)
Sn	1	2	3	4	5	...	n	0
2Sn	0	1	2	3	4	...	n-1	n
Sn-2Sn（上面两行对应相减）	1	1	1	1	1	...	1	-n

4、用Sn-2Sn，对应就是表格前两行上下相减，可以得到：
Sn-2Sn
=2^1+2^2+2^3+.....+2^n-n×2^(n+1)
={2^1+2^2+2^3+.....+2^n}-n×2^(n+1)
={2^(n+1)-2}-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1)-2 //这里你截图的答案处写错了
可以这样做是因为除了最后一项，大括号括起来的部分可以看成一个等比数列，可以使用前n项和公式直接得出结论：
5、同时，Sn-2Sn=-Sn，于是根据相等的传递性，可以知道：
-Sn=(1-n)×2^(n+1)-2
6、对5式子左右同时乘以-1，可以得到Sn的结果：
Sn
=-(1-n)×2^(n+1)+2
=(n-1)×2^(n+1)+2
到这里为止，前N项和已经处理完毕，Sn=(n-1)×2^(n+1)+2
然后，处理对n的最小值的问题，也就是求解不等式：Sn＞255，n为整数时的最小值。
将前n项和带入不等式：(n-1)×2^(n+1)+2＞255
整理得到：(n-1)×2^(n+1)>253
由于左侧增函数，实际上可以直接穷举出结果：先不考虑n-1这个系数,要2^(n+1)>253，可以缩放不等式范围为2^(n+1)>256=2^8，即n>=7时是肯定成立的，这时还没有考虑×(n-1)的问题，因此n<=7
如果程序计算之类的估计就可以用二分法找，因为是单调函数嘛，考试或者作业就从小或者从大边界开始穷举就可以了。答案里看也是穷举出来的。

-------分段用------

这个通项公式如果用更普适性的抽象来看的话：
An=a1+(n-1)×d;Bn=b1×q^(n-1)；Cn=An×Bn
则可以用上面同样的流程，推出来：
Cn的前n项和Sn存在如下关系：
(1-q)Sn=a1×b1+d×b1×(q-q^n)/(1-q)-[a1+(n-1)d]×b1×q^n
也就是：
(1-q)Sn=a1×b1+d×(Sbn-1)-q×an×bn
不建议硬背，推导过程整体更容易一些，理解思路也更好处理一些比如首项和通项不相符的情况