如何用反正切函数的泰勒展开式估算pi值

Question

考察python中的循环语句和条件语句，求解答
希望代码能简单化一些，需要用到泰勒展开式的，for循环和if条件语句都要用到，可参考图二

Answer 1

该回答引用自GPT-3.5,由博主GISer Liu编写：

这个问题的解决思路是利用反正切函数的泰勒展开式来估算 pi 值。泰勒展开式是一种用多项式逼近函数的方法，在这里我们会用到反正切函数的泰勒展开式：
arctan⁡(x)=x−x33+x55−x77+…\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} -
\frac{x^7}{7} + \ldotsarctan(x)=x−3x3​+5x5​−7x7​+…
我们知道，当 x=1x = 1x=1 时，arctan⁡(1)=π4\arctan(1) =
\frac{\pi}{4}arctan(1)=4π​。因此，我们可以利用这个展开式来逼近 pi 值。
解决方案如下：

1. 首先，我们需要编写一个函数来计算反正切函数的泰勒展开式的前 n 项的和。这个函数的参数是 n，表示我们要计算的泰勒展开式的项数。
2. 然后，我们利用这个函数来计算出 π\piπ 的近似值。根据泰勒展开式，当 x=1x = 1x=1 时，arctan⁡(1)=π4\arctan(1) = \frac{\pi}{4}arctan(1)=4π​，所以我们可以将计算出的和乘以 4，得到 π\piπ 的近似值。
   下面是完整的代码：
   pythonCopy code

   def arctan_taylor(n):
   """
   计算反正切函数的泰勒展开式前 n 项的和
   """
   result = 0
   sign = 1
   for i in range(1, n*2, 2):
   result += sign * (1 / i)
   sign *= -1
   return result
   def estimate_pi(n_terms):
   """
   估算 pi 值，利用反正切函数的泰勒展开式
   """
   arctan_sum = arctan_taylor(n_terms)
   pi_approx = arctan_sum * 4
   return pi_approx
   # 使用例子：计算前 1000 项的泰勒展开式来估算 pi 值
   pi_approximation = estimate_pi(1000)
   print("估算的 pi 值:", pi_approximation)
   

   在这个代码中，我们首先定义了一个函数 arctan_taylor，它计算了反正切函数的泰勒展开式前 n 项的和。然后我们定义了另一个函数
   estimate_pi，它利用前面的函数来估算 π\piπ 的近似值。
   最后，我们计算前 1000 项的泰勒展开式来估算 π\piπ 的值，并打印出结果。
   这段代码的输出会是估算的 π\piπ 值。

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