信息论离散信源熵问题

Question

如何使用不等式ln（x）小于等于x-1，证明N进制离散信源熵H（X）小于等于log（N），证明的依据是什么？

Answer 1

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证明： 根据信息论中的定义，离散信源熵H(X)可表示为H(X)=-Σp(xi)logp(xi)，其中p(xi)为信源发出符号xi的概率。 对于一个N进制离散信源，共有N个符号，分别为x1、x2、...、xN，它们出现的概率分别为p1、p2、...、pN，且概率之和为1，即Σpi=1。 由于ln(x)在x>0时单调递增，因此可对不等式ln(x)≤x-1两边同时取自然对数，得到lnln(x)≤ln(x-1)。 再将不等式右边的x-1变形为logN(x)-logN(N-1)，即x-1=logN(x)-logN(N-1)，代入上式，可得lnln(x)≤logN(x)-logN(N-1)。 则H(X)=-Σpi·logpi≤Σpi·(logN(N-1)-lnln(xi))=logN(N-1)Σpi-lnΠpi^pi=logN(N-1)-Σpi·lnpi=logN(N-1)+H(X)max，其中H(X)max为最大熵。 由于H(X)max恒小于等于logN，因此H(X)小于等于logN。 证毕。 代码实现：

生成符号概率

p = [0.1, 0.2, 0.15, 0.3, 0.25]

求信源熵

H = sum([-px * math.log(px, 2) for px in p])

求最大熵

H_max = math.log(len(p), 2)

验证不等式是否成立

print(H <= H_max) # 输出：True