复变函数问题，求解答

Question

关于复变函数积分问题求解答，当n＝1时，难道不是我写的那样吗，有一个平方。

Answer 1

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问题：关于复变函数积分问题的求解，当n=1时，为什么会有一个平方？ 回答：复变函数积分问题的求解中，当$n=1$时，可能出现一个平方的原因如下： 对于复变函数$f(z)$在圆周$\gamma$上的积分，根据柯西积分定理，有 $$\int\limits_{\gamma} f(z)dz=2\pi i\text{Res}[f,z_0]$$ 其中，$\text{Res}[f,z_0]$为$f(z)$在$z_0$处的留数。当$f(z)$在$z_0$处有一阶极点时，留数可以表示为 $$\text{Res}[f,z_0]=\lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)$$ 当$n=1$时，即$f(z)=\dfrac{P(z)}{(z-z_0)}$，其中$P(z)$为$z$的多项式，$z_0$为一阶极点。 将$f(z)$代入留数公式，得到 $$\text{Res}[f,z_0]=\lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)\frac{P(z)}{(z-z_0)}=P(z_0)$$ 因此，当$n=1$时，复变函数$f(z)$在圆周$\gamma$上的积分可以表示为 $$\int\limits_{\gamma} f(z)dz=2\pi iP(z_0)$$ 注意到$P(z_0)$是一个复数，所以最终结果中会有一个平方。 例如，取$f(z)=\dfrac{1}{z-1}$，积分路径为单位圆周$\gamma:|z|=1$。由于$f(z)$在$z=1$处有一阶极点，因此有 $$\int\limits_{\gamma} \frac{dz}{z-1}=2\pi i\text{Res}\left[\frac{1}{z-1},1\right]=2\pi i$$ 这里$\text{Res}\left[\dfrac{1}{z-1},1\right]=1$，所以最终结果中有一个平方。