动态规划算法几个小问题

Question

关于动态规划算法的问题如下：

1. 斐波那契数列的第 n 项是多少？
2. 计算矩阵连乘的最优解。
3. 最长回文子串的长度是多少？
4. 背包问题的最优解是什么？
5. 计算二叉树的最大深度？

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

1. 斐波那契数列的第 n 项是多少？ 斐波那契数列是一个递推数列，第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。可以使用动态规划算法来求解，先定义一个数组dp，dp[i]表示斐波那契数列的第i项的值。则有如下代码：

def Fib(n):
    dp = [0] * (n+1)
    dp[1] = dp[2] = 1
    for i in range(3, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

1. 计算矩阵连乘的最优解。 矩阵连乘是指给定n个矩阵A1,A2,...,An，计算它们的乘积的最少次数。可以使用动态规划算法来求解，定义一个二维数组dp[l][r]表示从第l个矩阵到第r个矩阵的最小连乘次数。则有如下代码：

def MatrixChainOrder(p):
    n = len(p) - 1
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][i] = 0
    for L in range(2, n+1):
        for i in range(1, n-L+2):
            j = i + L - 1
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j])
    return dp[1][n]

其中p数组表示每个矩阵的行列数，例如p=[10, 20, 30]表示有两个矩阵，第一个矩阵是1020，第二个矩阵是2030。 3. 最长回文子串的长度是多少？ 最长回文子串是指一个字符串中最长的、同时也是回文的子串。可以使用动态规划算法来求解，定义一个二维数组dp[i][j]表示从i到j的子串是否是回文，如下代码：

def longestPalindrome(s):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    ans = ""
    for l in range(n):
        for i in range(n):
            j = i + l
            if j >= n:
                break
            if s[i] == s[j] and (l <= 2 or dp[i+1][j-1]):
                dp[i][j] = True
                if len(ans) < l + 1:
                    ans = s[i:j+1]
    return ans

1. 背包问题的最优解是什么？ 背包问题是指有一个背包，可以装载一定的物品，在不超过背包容量的前提下，最大化背包所装物品的价值。可以使用动态规划算法来求解，定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值，如下代码：

def knapSack(W, wt, val, n):
    dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for w in range(1, W+1):
            if wt[i-1] <= w:
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w], val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]])
            else:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
    return dp[n][W]

其中W表示背包容量，wt表示每个物品的重量，val表示每个物品的价值，n表示物品的个数。 5. 计算二叉树的最大深度？ 二叉树的最大深度是指根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。可以使用递归的方式来求解，对于每个节点，最大深度等于其左右子树的最大深度加1。如下代码：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right
def maxDepth(root):
    if not root:
        return 0
    return max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1

其中root是根节点。