线性代数--关于对称矩阵的问题

Question

(a)如果5×5的矩阵S满足：S=S⊤，那么S
中有多少元素可以独立选择（一个元素的取
值不影响其他元素）
？
(b)L和D(仍然是5×5矩阵)满足什么条件，
矩阵LDL⊤跟(a)有一样的结果？
(c)如果A是反对称的，即A⊤=−A，那么A有多少元素可以独立选取

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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(a) 对于一个5×5的对称矩阵S，我们知道对称矩阵的性质是S = S^T，这意味着矩阵的上三角部分和下三角部分是镜像对称的。对于5×5矩阵，上三角部分（包括对角线）有(1+2+3+4+5 = \frac{5 \times (5+1)}{2} = 15)个元素。因为对称，下三角部分的元素与上三角部分相同，所以这些元素不是独立选择的，它们是上三角部分元素的镜像。因此，S中共有15个独立可选的元素。

(b) 如果矩阵L是单位下三角矩阵（即对角线元素为1，其余元素为0）且D是对角矩阵，那么LDL^T是一个对称矩阵的分解，称为Cholesky分解。在这种情况下，D的对角线元素可以自由选择，因为L的元素由D确定（L的(i,j)元素为非对角线D元素的平方根，j<i时为0）。D是一个5×5的对角矩阵，所以它有5个独立可选的元素。L的结构限制了它的元素，但这些元素由D的非零对角元素决定。

(c) 对于反对称矩阵A，其性质是A^T = -A。这意味着矩阵的主对角线上的所有元素都是0，因为它们的转置还是自己，但根据反对称性它们必须是它们自己的负数。对于5×5的反对称矩阵，主对角线上有5个0。反对称矩阵的其余元素按照对角线对称位置成对出现，每一对元素的和必须为0。因此，每个非对角线元素可以独立选择，但是每选择一个非对角线元素，它的对称位置就需要选择一个相等且符号相反的元素。在5×5矩阵中，有(5 \times (5-1) / 2 = 10)对这样的非对角线元素，所以共有10个独立可选的元素。