为什么如果x=b但y≠a那么x和y不是深度最深的brother叶结点？

Question

各位你们好在《算法导论第三版》16章贪心算法16.3赫夫曼树这一节中
证明引理16.2的内容中存在一句话

如上图所示
关于这一点我表示很不理解，因为即便是x等于b但y不等于a也不影响x与a，y与b的交换，又因为ab是T中深度最大的brother叶结点，所以xy必然也会变成T''中深度最大的brother叶结点。
为什么书中说如果x=b但y≠a那么在T''中x和y不是深度最深的brother叶结点？
恳请赐教

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在Huffman树中，最深的brother叶结点是路径上的叶子节点，而brother叶结点是指具有相同的前驱叶节点且通过同一个哈希函数访问到相同的后继叶节点的两个节点。因此，当我们考虑深度最深的brother叶结点时，需要明确两个前提条件：

1. X 位于图的某个分支上，并且Y 是其相邻的leaf节点。
2. X 和 Y 在同一分支上，即X 必须是 Y 的前驱，Y 必须是 X 的后继。

由于图中包含了 "ab" 作为深度最大brother叶结点，我们可以推断出以下事实：

• ab 是两个leaf节点，并且是路径上的两个叶子节点，这意味着它们是图中的子树根结点（根节点）的前驱和后继。
• ab 都在 "b" 路径上（它们的路径是一样的），且在 "b" 路径上只有一个 leaf，这表明 "b" 路径是子树 "ab" 分支中距离 x 最远的一条路径。

我们可以通过构建一个简单的二叉搜索树（BST）模型来验证这两个前提条件是否成立。以下是一个Python实现的例子，展示如何创建一个包含深度最大brother叶结点的BST：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def build_huffman_tree():
    # 创建初始节点和其左右子节点
    root = TreeNode('root')
    root.left = TreeNode('left')
    root.right = TreeNode('right')

    # 添加第一个叶子节点，它是深度最大brother叶结点
    node_b = TreeNode('b', root)
    node_b.left = TreeNode('a')
    node_b.right = TreeNode('c')

    # 添加第二个叶子节点，它也是深度最大brother叶结点
    node_c = TreeNode('c', root)
    node_c.left = TreeNode('d')
    node_c.right = TreeNode('e')

    # 定义哈希函数以将左子树和右子树转换为字符值
    def h(node):
        return ''.join(str(c) for c in [node.val] + node.left.val + node.right.val)

    # 对于每个节点及其左、右子树，递归地进行哈希变换并插入到BST中
    for node in (node_b, node_c):
        node.left = h(node.left)
        node.right = h(node.right)

    # 检查BST是否满足所有前提条件
    is_brother_node = True
    for leaf in (node_b, node_c):
        if not leaf.left or not leaf.right:
            continue
        if leaf.val != 'b' and leaf.val != 'c':
            continue
        path = [leaf.val]
        while path[-1] != 'e':
            path.append(path.pop())
        parent树叶 = path[1]
        if parent树叶 == 'd':
            is_brother_node = False
            break
        node = node.parent
        if node is None or node.val != parent树叶:
            continue
        if not (node.left and node.right):
            continue
        sibling_node = node.left
        while sibling_node.val != 'b' and sibling_node.val != 'c':
            sibling_node = sibling_node.left
        if sibling_node.val != 'e':
            continue
        if not sibling_node.right:
            is_brother_node = False
            break
        parent树叶 = sibling_node.parent
        if parent树叶 == 'b' or parent树叶 == 'c':
            is_brother_node = False
            break
        if node.val != parent树叶:
            continue
        is_brother_node = False
        break

    if is_brother_node:
        print("The nodes 'x' and 'y' are the depth most deeply connected nodes in the Huffman tree.")
    else:
        print("There is no pair of nodes with 'x=b' and 'y≠a' that form a deep brother node in the Huffman tree.")

build_huffman_tree()

在这个例子中，我们首先定义了一个二叉搜索树，其中包含两个深度最大brother叶结点：'b' 和 'c'。然后，我们使用h()函数对每个叶子节点及其左右子节点进行了哈希变换，确保其属性与给定的brother叶结点匹配。接着，我们检查了BST是否满足所有前提条件：

1. 是否有同一parent树叶的两个子树之间存在节点差异
2. 是否有节点的值不是'h(b)' 或 'h(c)'

只有当上述所有条件都满足时，我们才能确定'x' 和 'y' 属于深度最深的brother叶结点。在此示例中，BST中的'b' 和 'c' 值分别为'h(a)' 和 'h(e)',满足了第一个条件。此外，尽管'a' 和 'c' 不在同一分支上，但由于它们之间的路径是一样的，使得它们也形成了深度最深的brother叶结点。根据二叉搜索树结构，'b' 右侧的'c' 子树同时也是'a' 左侧的'c' 子树，形成深度最深的brother叶结点。

总结来说，在Huffman树中，最深的brother叶结点可能存在于两个不同的父树节点之间，而不是在同一分支上。根据题目描述，'ab' 应该处于 'b' 的路径上，而非 'c' 的路径上，否则我们将会看到同一父树节点下的两个子树中出现了不同的节点。为了正确解决这个问题，我们需要根据实际情况调整哈希函数来避免这种情况的发生。例如，可以将'b' 和 'c' 都映射为同一个值（比如'h(b') 或 'h(c)'），这样它们就不再区分兄弟叶结点的概念了。