计算机控制系统问题求解答

Question

求出系统闭环脉冲传递后，对于闭环特征多项式Δ（z），用|Δ（0）|＜1，Δ（1）＞0，Δ（-1）＞0，为什么得不到解的交集？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，我们来解决第一个问题，即使用双线性变换法将D(S)离散并确定使系统稳定的最大a值。

双线性变换法

双线性变换法是一种将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数的方法。根据双线性变换法，我们有以下变换关系：

[ z = \frac{1 + \frac{T}{2}}{1 - \frac{T}{2}} \cdot S ]

其中，T是采样时间。对于给定的T=0.1s，我们可以计算出z的表达式：

[ z = \frac{1 + \frac{0.1}{2}}{1 - \frac{0.1}{2}} = \frac{1 + 0.05}{1 - 0.05} = \frac{1.05}{0.95} ]

接下来，我们将D(S)的S替换为上面的变换关系中的S，得到离散域的传递函数D(z)：

[ D(z) = \frac{a + 5}{z \cdot T + 1} \cdot \frac{1.05}{0.95} ]

[ D(z) = \frac{1.05(a + 5)}{0.95zT + 1.05} ]

系统稳定性分析

为了使系统稳定，闭环传递函数的特征方程的根必须位于单位圆内。特征方程由闭环传递函数C(z)/R(z)得到，其中R(z)是参考输入的传递函数，C(z)是输出的传递函数。

对于给定的D(z)，闭环传递函数可以表示为：

[ C(z) = \frac{D(z) \cdot H(z)}{1 + D(z) \cdot H(z) \cdot T} ]

其中，H(z)是系统的反馈部分。

闭环特征多项式Δ(z)可以表示为：

[ \Delta(z) = 1 + D(z) \cdot H(z) \cdot T ]

我们需要找到使Δ(z)在z=0, z=1, 和 z=-1时满足条件的a值。

1. 当z=0时，[ |Δ(0)| < 1 ] 意味着系统在直流增益时稳定。
2. 当z=1时，[ Δ(1) > 0 ] 意味着系统在单位延迟时稳定。
3. 当z=-1时，[ Δ(-1) > 0 ] 意味着系统在单位提前时稳定。

我们需要找到满足上述所有条件的最大a值。这通常需要通过数值方法或者图形化方法来解决，例如使用根轨迹或者尼奎斯特图。

无零阶保持器的情况

如果没有零阶保持器，系统的采样时间T将影响系统的稳定性。在这种情况下，我们需要重新计算闭环传递函数，并分析系统的稳定性。由于没有零阶保持器，系统的相位延迟会增加，这可能会导致系统更容易进入不稳定状态。

在这种情况下，我们需要更严格地选择a的值，以确保系统在所有可能的采样时间下都保持稳定。这通常意味着我们需要选择一个更小的a值来保证系统的稳定性。

结论

要得到使系统稳定的最大a值，我们需要详细分析闭环传递函数和特征多项式Δ(z)。这通常涉及到复杂的数学计算和系统分析。在实际操作中，我们可能会使用计算机辅助设计软件来帮助我们找到满足所有稳定性条件的a值。

至于为什么不能通过解交集得到解，这可能是因为在特定的系统参数下，满足所有条件的解可能不存在，或者解的范围非常有限，无法找到一个共同的解集。这需要对系统的传递函数、采样时间以及其他系统参数进行详细的分析才能得出结论。