使用无穷级数编写python程序近似计算圆周率，要求用到给定的Π的无穷级数公式

Question

请你编写python程序，使用级数公式,要求使用的π的无穷级数公式如图，近似计算圆周率的数值。设N为级数中项目数量（注意N从1开始计数），编程中通过N控制循环次数和估算精度。变量pi保存最后估算的圆周率，变量term保存循环停止时的最后一个分项的数值。
输出圆周率pi和最后一项term的数值，要求输出结果保留小数点后8位。

Answer 1

以下参考免费微信小程序：皆我百晓生 作答，并由妄北y整理回复。

import math

def calc_pi(N):
    total_sum = 3  # π的初始近似值
    term = 1       # 最后一项的值
    sign = 1       # 控制加减的符号
    for n in range(1, N + 1):
        new_term = 4.0 / ((n * 2) * (n * 2 + 1) * (n * 2 + 2))
        total_sum += new_term * sign
        sign *= -1  # 改变下一项的符号
        term = abs(new_term)  # 更新最后一项的绝对值

    return (total_sum, term)

# 获取用户输入
N = int(input("请输入级数的项数N："))
pi, term = calc_pi(N)
print(f"{pi:.8f}")  # 输出π的近似值，保留8位小数
print(f"{term:.8f}")  # 输出最后一项的绝对值，保留8位小数

这段代码是用来计算圆周率π的近似值的Python函数。它使用了一个数学公式，这个公式是基于无穷级数的。它是由莱布尼茨公式派生出的一个变体。这个级数交替地加减分数项，并且每个分数项的分子都是4，分母是连续的奇数乘积。

让我们逐步分析这段代码：

导入模块

import math

这行代码导入了Python的math模块，虽然在此代码片段中没有直接使用到math模块中的任何功能。

定义计算π的函数

def calc_pi(N):

这里定义了一个名为calc_pi的函数，它接收一个参数N。这个参数N指定了要计算的级数的项数。

初始化变量

    total_sum = 3  # π的初始近似值
    term = 1       # 最后一项的值
    sign = 1       # 控制加减的符号

total_sum变量初始化为3，这是因为级数的第一项是3。
term变量表示级数中的当前项的值。
sign变量用于控制系列中每个项是加还是减，初始值为1表示第一个项是加的。

计算级数

    for n in range(1, N + 1):
        new_term = 4.0 / ((n * 2) * (n * 2 + 1) * (n * 2 + 2))
        total_sum += new_term * sign
        sign *= -1  # 改变下一项的符号
        term = abs(new_term)  # 更新最后一项的绝对值

这个for循环会迭代N次。每一次循环都会计算出一个新的项new_term，将这个项加到总和total_sum上，并且更新term为当前项的绝对值。符号sign在每次迭代后都会改变（乘以-1），从而实现交替加减的效果。

返回结果

    return (total_sum, term)

函数执行完毕后，会返回一个包含两个值的元组：total_sum（π的近似值）和最后一个计算项term的绝对值。

获取用户输入并调用函数

N = int(input("请输入级数的项数N："))
pi, term = calc_pi(N)

代码请求用户输入项数N，接着使用这个值调用calc_pi函数。得到的结果存储在变量pi（π的近似值）和term（最后一个项的绝对值）。

打印结果

print(f"{pi:.8f}")  # 输出π的近似值，保留8位小数
print(f"{term:.8f}")  # 输出最后一项的绝对值，保留8位小数

最后，代码以固定8位小数的格式打印出π的近似值和最后一个项的绝对值。

这个代码利用了一个简单的数学级数来计算π的近似值，适合于教学和学习目的。对于精确的科学计算，通常会使用更加复杂且精确的算法。