运筹学最优车辆分配问题

Question

求帮忙写出这个问题的数学模型和求解代码，要求最后运行结果输出最优的车辆任务分配方案，使得车辆总路程最短。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，我们需要构建一个数学模型来描述这个问题。我们可以使用整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP）来解决这个问题。

1. 定义决策变量：设x[i][j]为一个二进制变量，表示客户i是否分配给车辆j。如果客户i分配给车辆j，则x[i][j]=1，否则x[i][j]=0。

2. 目标函数：最小化车辆的总路程。我们可以通过计算每个车辆的行驶距离之和来实现。

3. 约束条件：

   • 每个客户只能被分配给一辆车辆：对于所有i，Σx[i][j] = 1，其中j表示车辆编号。
   • 每辆车的载重限制：对于所有j，Σdemand[i] * x[i][j] <= capacity，其中capacity表示车辆的最大载重。
   • 配送顺序：对于所有i < k，如果客户i分配给车辆j，那么客户k也必须分配给车辆j。

接下来，我们可以使用Python的PuLP库来求解这个ILP问题。以下是求解代码：

from pulp import LpProblem, LpVariable, LpMinimize, LpInteger, lpSum

# 客户数量和车辆数量
num_customers = 20
num_vehicles = 5

# 客户需求和距离矩阵
demand = [0, 6, 18, 6, 9, 7, 12, 4, 3, 5, 6, 7, 4, 8, 4, 7, 11, 3, 7, 4]
distance = [
    # ... 这里省略了距离矩阵的数据 ...
]

# 创建问题实例
prob = LpProblem("Vehicle_Routing", LpMinimize)

# 定义决策变量
x = [[LpVariable(f"x_{i}_{j}", cat="Binary") for j in range(num_vehicles)] for i in range(num_customers)]

# 定义目标函数
prob += lpSum(distance[i][j] * x[i][j] for i in range(num_customers) for j in range(num_vehicles))

# 添加约束条件
for i in range(num_customers):
    prob += lpSum(x[i][j] for j in range(num_vehicles)) == 1

for j in range(num_vehicles):
    prob += lpSum(demand[i] * x[i][j] for i in range(num_customers)) <= 5

for i in range(num_customers - 1):
    for j in range(num_vehicles):
        prob += x[i][j] + x[i + 1][j] <= 1

# 求解问题
prob.solve()

# 输出结果
print("最优解：")
for j in range(num_vehicles):
    print(f"车辆 {j + 1}:", end=" ")
    for i in range(num_customers):
        if x[i][j].value() == 1:
            print(i + 1, end=" ")
    print()

请注意，您需要将上述代码中的距离矩阵数据补充完整。