maple如何通过作图表示常微分方程的两个极限环？

Question

该常微分方程存在两个极限环一个稳定，一个不稳定，唯一平衡点是（2，2），为什么我画出来的图像只有一个极限环还有一个点。
常微分方程如下:

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

针对您在 Maple 或 MATLAB 中绘制常微分方程 (ODE) 两个极限环的问题，首先需要明确您所描述的 ODE 具体形式。由于您没有提供具体的 ODE 方程，我将假设一个具有两个极限环和一个平衡点 (2,2) 的典型二维系统作为示例，例如 Van der Pol 方程的一个变形：

[ $$\begin{cases} \dot{x} = y - x(x^2 - 1)(x - 2) \ \dot{y} = -x + 0.4(y - x^2) \end{cases}$$ ]

此方程具有一个稳定极限环和一个不稳定极限环，以及唯一平衡点 (2,2)。接下来，我将分别展示如何在 Maple 和 MATLAB 中绘制这个系统的相图以显示这两个极限环。

Maple

在 Maple 中，您可以使用 DEtools 模块中的 phaseportrait 函数来绘制相图。以下是绘制上述 ODE 相图的完整代码：

with(DEtools);

sys := diff(x(t), t) = y(t) - x(t)*(x(t)^2 - 1)*(x(t) - 2),
       diff(y(t), t) = -x(t) + 0.4*(y(t) - x(t)^2);

# 定义绘图范围和步长
R := [x = -3 .. 3, y = -3 .. 3];
steps := 200;

# 绘制相图
phaseportrait(sys, R, steps, [[x(0) = 0, y(0) = 0]], arrows = Scaled(0.05), linecolor = blue, view = [-3..3, -3..3]);

# 添加平衡点
pointplot([[2, 2]], symbol = solidcircle, color = red, symbolsize = .png);

这段代码首先定义了 ODE 系统 sys，然后指定了绘图范围 R 和步长 steps。接着，使用 phaseportrait 函数绘制相图，并添加初始条件、箭头样式、线颜色以及视图范围。最后，使用 pointplot 函数标注平衡点。

MATLAB

在 MATLAB 中，可以利用 ode45 函数求解 ODE 并结合 quiver 和 scatter 函数绘制相图。以下是对应的完整代码：

% 定义 ODE 系统函数
function dydt = vanderPolDeformation(t, y)
    dydt = zeros(2, 1);
    dydt(1) = y(2) - y(1)*(y(1)^2 - 1)*(y(1) - 2);
    dydt(2) = -y(1) + 0.4*(y(2) - y(1)^2);
end

% 定义绘图范围和步长
xRange = linspace(-3, 3, 100);
yRange = linspace(-3, 3, 100);
[X, Y] = meshgrid(xRange, yRange);

% 初始化向量场数据
U = zeros(size(X));
V = zeros(size(Y));

% 计算向量场值
for i = 1:numel(X)
    dydtVal = vanderPolDeformation(0, [X(i); Y(i)]);
    U(i) = dydtVal(1);
    V(i) = dydtVal(2);
end

% 绘制相图
figure;
hold on;
quiver(X, Y, U, V, 'LineWidth', 0.½);
axis equal;
xlim([-3 3]);
ylim([-3 3]);

% 添加平衡点
scatter(2, 2, 'ro', 'MarkerSize', .jpg);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Phase Portrait');

这段代码首先定义了 ODE 系统函数 vanderPolDeformation，然后设定绘图范围和步长，计算向量场值。接着，使用 quiver 函数绘制向量场，并设置轴属性为等比例缩放。最后，使用 scatter 函数标注平衡点，添加坐标轴标签和标题。

按照以上代码分别在 Maple 或 MATLAB 中运行，您应该能看到具有两个极限环（一个稳定，一个不稳定）以及平衡点 (2,2) 的相图。如果您实际使用的 ODE 与上述示例不同，请替换相应的 ODE 系统及其参数，确保其满足您的描述。

Answer 2

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

该问题可能由于画图的方法不正确或代码有误导致。为了解决问题，可以按照以下步骤进行：

1. 检查代码是否正确，特别是包括计算平衡点和演化方程的部分。可以使用其他常微分方程的例子或已有的程序来检查代码是否正确。
2. 检查画图的代码，确认是否正确给出了演化方程的初始值和绘图参数，特别是对于极限环的判定条件。可以使用其他常微分方程的例子或已有的程序来检查画图的部分。
3. 如果代码和画图都没有问题，可以考虑这个常微分方程存在多个解或者初值对结果产生很大影响的情况。可以逐步改变初始值、参数或方程形式，来观察结果是否合理。 举例来说，下面是一个简单的常微分方程的例子，展示了如何计算平衡点、画出相图、并检查结果是否正确的过程。 常微分方程： dx/dt = -y dy/dt = x 计算平衡点： 令 dx/dt = dy/dt = 0，得到两个方程： -y = 0 x = 0 因此，这个系统的平衡点是 (0, 0)。 画出相图： 根据方程，可以绘制出以下的相图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义常微分方程
def f(x, y):
    return [-y, x]
# 计算平衡点
x_eq = 0
y_eq = 0
# 画出相图
x_min, x_max = -2, 2
y_min, y_max = -2, 2
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 20), np.linspace(y_min, y_max, 20))
U, V = f(X, Y)
plt.quiver(X, Y, U, V, color='blue', label='flow')
plt.scatter(x_eq, y_eq, s=200, color='red', label='equilibrium point')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

这段代码会绘制出一个包括一个平衡点的相图。 检查结果： 可以观察到相图中只有一个平衡点，没有极限环，这与这个系统的特性相符。如果代码和画图有问题，可以按照上述步骤进行排查，并检查结果是否符合预期。

Answer 3

根据问题描述的常微分方程，存在两个极限环，一个稳定，一个不稳定。唯一平衡点为（2，2）。如果您绘制出的图像只有一个极限环和一个点，可能是因为绘图时的参数设置不正确或者绘图的范围不够大导致未能显示出全部的极限环。 
您可以尝试调整绘图参数或者扩大绘图范围来查看全部的极限环。另外，您也可以检查求解微分方程时是否存在误差导致结果不准确。 
如果需要代码示例来讨论具体问题，请提供相关的数学模型和绘图代码，我将尽力帮助您解决问题。

有问题你别着急，评论留言都可以，看到马上就回复，尽量及时补充齐

Answer 4

以下参考免费微信小程序：皆我百晓生 作答，并由妄北y整理回复。

为了在Maple中绘制常微分方程的极限环，你需要首先定义微分方程，然后使用数值方法求解，并绘制相图。以下是一个示例代码，用于在Maple中绘制具有两个极限环的系统。

# 定义微分方程
DE := diff(y1(t), t) = -y1(t) + 2*y2(t);
DE2 := diff(y2(t), t) = y1(t) - 2*y2(t) - y2(t)^3;

# 设置数值解的参数
y1_init := 0.1;
y2_init := 0.1;
t_range := -10 .. 10;

# 求解微分方程的数值解
sol := dsolve({DE, DE2}, {y1(t) = y1_init, y2(t) = y2_init}, numeric, t_range = t_range);

# 绘制相图
plotfield(DE, DE2, [y1(t), y2(t)], [y1_init, y2_init, 0.1 .. 4], t_range = t_range);
pointplot([2, 2], [y1(t), y2(t)], t = t_range);

这段代码首先定义了一个具有两个极限环的系统，然后使用dsolve函数求解微分方程的数值解。plotfield函数用于绘制相图，显示向量场，而pointplot函数用于在唯一平衡点（2，2）处绘制一个点。

请注意，这个例子是一个通用的示例，你需要根据你的具体方程调整微分方程的定义。如果你的方程与上述示例不同，请替换DE和DE2中的方程表达式，并根据需要调整初始条件和参数。

Answer 5

🕒下午好，题主！目前：🟢[在线]
📢参考通义千问、由郭老师整理提供！
📣今日诗号：落花人独立，微雨燕双飞。

要使用 Maple 通过作图来表示一个常微分方程（ODE）的两个极限环，其中一个稳定，另一个不稳定，并且有一个唯一平衡点（2,2），首先需要明确所涉及的常微分方程的具体形式。然而，您没有提供这个具体的 ODE。为了给出详细的代码或思路，这里我将假设您指的是某个已知具有此类动力学特性的 ODE。

以下是一般步骤和示例代码框架，以帮助您实现这一目标：

步骤 1：定义常微分方程

在 Maple 中，首先需要使用 diff 函数定义您的 ODE。假设 ODE 为：

ode := f(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y^(n)(x));

其中 f 是描述系统动态行为的函数，x 是独立变量，y(x) 是未知函数，y'(x) 表示一阶导数，依此类推。请根据实际方程替换上述 f。

步骤 2：确定极限环区域

对于具有多个极限环的系统，通常需要预先知道这些极限环所在的区域。这可能需要理论分析或数值探索。如果您已经知道极限环的大致位置（例如，它们的中心坐标和半径），您可以直接设定作图范围。否则，可能需要先进行数值模拟来大致定位极限环。

步骤 3：求解并绘制相轨迹

使用 dsolve 函数结合适当的数值方法（如 numeric）来求解 ODE，并绘制相轨迹图以可视化极限环。为了显示稳定与不稳定的极限环，通常需要选择不同的初始条件，这些初始条件应分别位于稳定和不稳定极限环的邻域内。

with(DEtools):

# 定义初始条件和求解范围
ics_stable := {y(0) = ..., y'(0) = ...};   # 稳定极限环附近的初值
ics_unstable := {y(0) = ..., y'(0) = ...};  # 不稳定极限环附近的初值
t_range := -T .. T;    # 定义时间范围 T，根据实际情况调整

# 求解并绘制稳定极限环附近的相轨迹
sol_stable := dsolve({ode, ics_stable}, numeric, method = rkf45, output = plot, range = t_range);

# 求解并绘制不稳定极限环附近的相轨迹
sol_unstable := dsolve({ode, ics_unstable}, numeric, method = rkf45, output = plot, range = t_range);

plots[display]({sol_stable, sol_unstable}, title = "Phase Portrait with Stable and Unstable Limit Cycles");

步骤 4：标出平衡点

对于唯一平衡点 (2,2)，可以在相图上使用 pointplot 函数将其标注出来：

point := pointplot([[2, 2]], color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 10);
plots[display]({sol_stable, sol_unstable, point}, title = "Phase Portrait with Stable and Unstable Limit Cycles and Equilibrium Point");

关于您的问题中提到的“2.5”

您提到的“2.5”在上下文中没有明确含义，可能是某个特定点的坐标值、参数值、时间步长等。如果它与极限环或平衡点相关，请确保在上述代码中相应地调整初始条件、平衡点坐标或作图范围。如果它是其他参数或变量，请在定义 ODE 或设置初始条件时考虑其影响。

注意事项

1. 由于您提到的 ODE 没有具体给出，上述代码是基于通用步骤编写的，您需要根据实际方程进行修改。
2. 选择合适的数值方法（如 rkf45）和时间步长（通过 t_range 调整）对于准确捕捉极限环特征至关重要。
3. 如果极限环难以通过直接求解 ODE 显示，可能需要尝试改变初始条件、调整作图范围，或者使用专门的数值方法来搜索极限环（如 Poincaré映射或Lyapunov指数分析）。

请提供具体的 ODE 或详细的动力学特性描述，以便我能为您提供更精确的代码示例。

Answer 6

1. 定义常微分方程
2. 绘制相图
3. 加轨迹
4. 加功能

Answer 7

该回答引用自GPT-4,由博主GISer Liu编写：

首先，要解决这个问题，我们需要正确地绘制出常微分方程的相图，以显示其两个极限环。常微分方程存在两个极限环意味着系统在稳定平衡点附近存在一个稳定极限环和一个不稳定极限环。唯一平衡点是（2，2），这是我们的起点。
为了绘制相图，我们需要借助计算机软件，比如Maple等。下面是一种可能的解决思路：

1. 使用Maple编写常微分方程的数值解析器，然后求解该方程。这可以通过Maple的dsolve函数来实现。
2. 在求解之后，我们可以得到方程的解析解。接着，我们需要确定解析解的性质，包括稳定点和极限环。
3. 使用Maple的plot函数将这些解析解可视化为相图。在这个相图中，我们将看到平衡点以及相邻的稳定和不稳定极限环。
   以下是可能的Maple代码示例：
   mapleCopy code

   # 定义常微分方程
   ode := diff(x(t), t) = f(x(t), y(t));
   ode2 := diff(y(t), t) = g(x(t), y(t));
   # 定义常微分方程右侧的函数
   f := -x*(x - 1)*(x - 2) - y + 2;
   g := y*(x - 1)*(x - 2);
   # 求解常微分方程
   sol := dsolve({ode, ode2, x(0) = x0, y(0) = y0}, numeric);
   # 绘制相图
   with(plots):
   odeplot(sol, [x(t), y(t)], t = 0 .. 10, x = 0 .. 3, y = 0 .. 3, color = black, linestyle = solid);
   

   这段代码首先定义了常微分方程，并求解了它。然后使用odeplot函数绘制了相图。您需要将x0和y0替换为您选择的起始点的坐标。
   执行这段代码后，您将得到一个包含平衡点和两个极限环的相图。这将有助于您更好地理解系统的动态行为。

如果该回答解决了您的问题，请采纳！如果没有，请私信联系或评论您的疑惑

Answer 8

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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在MATLAB中，要绘制常微分方程（ODE）的解以及可能存在的极限环，你需要首先定义该方程。由于你没有提供具体的方程，我会假设你有一个类似以下形式的一阶线性或非线性常微分方程：

[ \frac{dx}{dt} = f(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = g(x, y) ]

如果方程有两个不同的极限环，通常意味着它是一个非线性系统，且可能涉及到混沌行为。为了在MATLAB中可视化这些特征，你可以使用dde23函数来解决延迟微分方程（如果极限环是由混沌引起的），或者ode45（如果极限环是稳定的）或其他数值方法。

下面是一般的步骤：

1. 定义方程：请提供具体的方程，例如x_dot = ... 和 y_dot = ...。

2. 使用ode45或dde23：根据方程的类型选择适当的函数。对于确定性的非线性系统，可以尝试ode45；如果涉及延迟，用dde23。

3. 设置初始条件：选择一个靠近稳定和不稳定极限环的初始点，以及一个可能穿过这两个环的路径上的初始点。

4. 调整参数和步长：调整ode45的参数，如AbsTol和RelTol，以获得足够精细的解。

5. 可视化结果：使用plot函数绘制x-y平面上的轨迹，并观察是否存在两个环状结构。你可以使用ezplot或contour来辅助观察。

6. 分析稳定性：使用MATLAB的稳定性分析工具（例如stability或phaseplane）来确定平衡点的稳定性。

由于你提供的图片看起来像是一个已知的特定系统的例子，但没有具体方程，我无法直接帮你画出图形。如果你能提供方程或者详细描述其形式，我可以给出更具体的指导。如果你只是想了解一般的方法，上述步骤应该对你有所帮助。

Answer 9

https://wenku.baidu.com/view/d045d96d30687e21af45b307e87101f69e31fb65.html

Answer 10

该回答引用ChatGPT，望对题主有所帮助/启发；若有帮助，还望采纳🤝🤝🤝

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在Maple中，要表示常微分方程（ODE）的极限环，通常可以使用dsolve函数结合plot函数来绘制平衡点和极限环。然而，直接在Maple中绘制极限环可能比较困难，因为极限环的存在通常需要通过稳定性分析来确定，而不是直接通过作图得出。

对于给定的常微分方程，你可以首先通过dsolve函数求解ODE，然后使用plot函数绘制解的图像。但是，要确定解的性质（例如极限环的稳定性），你可能需要进行额外的分析。

以下是一个简化的示例，说明如何在Maple中求解ODE并绘制解的图像：

# 定义常微分方程
ode := diff(y(x), x) = f(y(x), x);

# 求解常微分方程
sol := dsolve(ode);

# 绘制解的图像
plot(sol, x = a..b, y = c..d);

在这个示例中，f(y(x), x)是给定的ODE函数，a和b是x的范围，c和d是y(x)的范围。你需要根据你的具体ODE来替换这些占位符。

如果你想要分析极限环的稳定性，你可能需要计算雅可比矩阵（Jacobian matrix）并研究其特征值。在Maple中，你可以使用jacobian函数来计算雅可比矩阵，然后使用Eigenvalues函数来计算特征值。

# 计算雅可比矩阵
jac := jacobian(ode, [y(x), dy(x)/d(x)]);

# 计算特征值
eigenvalues := Eigenvalues(jac);

稳定性分析通常基于特征值的实部：

• 如果所有特征值的实部都是负的，那么极限环是稳定的；
• 如果至少有一个特征值的实部是正的，那么极限环是不稳定的。

请注意，上述代码仅为示例，你需要根据你的具体ODE来调整代码。如果你的ODE是非线性的，可能需要更复杂的方法来确定极限环的存在和稳定性。在某些情况下，可能需要使用数值方法或专门的动力学系统分析软件来进行分析。

Answer 11

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