maple中的DEplot画相图，如何能清楚显示常微分方程组的两个极限环？

Question

如图，该常微分方程组其实存在两个极限环，一个稳定，一个不稳定，唯一平衡点为（2，2），为什么我画出的相图只能看出一个极限环和一个点？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

很抱歉，您提供的代码片段中存在一些错误和不清晰之处，导致无法直接运行并分析您的问题。然而，根据您描述的问题，您正在尝试使用 Maple 的 DEplot 函数绘制一个二维常微分方程组的相图，并且希望清楚地展示其中的两个极限环（一个稳定，一个不稳定）以及唯一的平衡点（(2,2)）。针对您遇到的问题，以下是一些建议来改进您的绘图设置，以便正确地显示这些特征：

1. 修正代码错误：首先，您提供的代码片段包含语法错误和不明确的部分。请确保提供正确的常微分方程组定义。以下是疑似修正后的方程组（请注意，您提供的 ode2 中有部分字符无法识别，因此我仅根据描述猜测其形式）：

   ode1 := D(x)(t) = x(t)*(1 - 1/6*x(t));
   ode2 := D(y)(t) = y(t)*(5 - (1 + x(t)) - 18/(1 + 1/x(t)));
   

   请核实上述方程是否与您的实际方程一致。

2. 调整初始条件：为了同时显示两个极限环，您可能需要选择一组合适的初始条件，这些条件应分别位于两个极限环附近。您提供的初始条件似乎是 [x(0)=1.9994,y(0)=2.0004] 和 [x(0)=2,y(0)=0.4]。请确保这些初始条件能覆盖到两个极限环区域。

3. 优化参数设置：

   • 时间范围：将 t=0..10000 调整为更合适的值，例如 t=0..100 或 t=0..500，因为过大的时间范围可能导致计算效率降低或精度问题。
   • 网格设置：在 DEplot 函数中添加 gridlines=[nx, ny] 参数，其中 nx 和 ny 分别是水平和垂直方向上的网格线数量。增加网格密度有助于更好地描绘极限环轮廓，例如 gridlines=[50, 50]。
   • 颜色与线型：可以使用不同的颜色和线型区分不同的轨迹，使图像更易解读。例如，为每条轨迹指定不同的 linecolour 和 linetype。

   示例代码：

   DEplot(
     [ode1, ode2],
     [x(t), y(t)],
     t = 0 .. 500,
     [[x(0) = init_x1, y(0) = init_y1], [x(0) = init_x2, y(0) = init_y2]],
     x = 0.8 .. 3.8,
     y = 1.3 .. 2.3,
     gridlines = [50, 50],
     linecolour = ["red", "blue"],
     linetype = ["solid", "dash"]
   );
   

   其中，init_x1, init_y1, init_x2, init_y2 应替换为您选择的初始条件。

4. 解决警告信息：您提到的警告信息指出，在计算过程中遇到了 maxfun 限制。这通常意味着求解器达到最大函数评估次数但仍未能收敛。您可以尝试增大 maxfun 参数的值，以允许求解器进行更多迭代。在 DEplot 命令前添加以下行来调整 maxfun：

   dsolve/options/maxfun := 10000;  # 或者选择更大的数值
   

5. 检查方程稳定性：如果您确认方程组确实具有一个稳定极限环和一个不稳定极限环，但仍然无法在相图中清晰观察到，可能需要重新检查方程组的正确性。您可以通过计算雅可比矩阵、特征值等方法分析系统的稳定性，确保理论分析与实际绘图结果相符。

综上所述，按照上述建议调整您的代码和参数设置，应该有助于您在 Maple 中使用 DEplot 函数清晰地绘制出常微分方程组的两个极限环和唯一平衡点。请确保首先修正并核实方程组的正确性，然后根据实际情况调整初始条件、时间范围、网格设置等参数。如有需要，进一步调整 maxfun 参数以避免求解过程中的限制。