问一下这道高等代数题的解答过程

Question

问一下这道高等代数题的解答过程，求各位解答，求详细的过程和解题思路

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要证明这两个子空间( W_1 )和( W_2 )满足给定的条件，我们首先回顾一些基本概念。在三维向量空间( P_3 )，向量通常表示为( (x_1, x_2, x_3) )，其中( x_1, x_2, x_3 )是实数。子空间( W_1 )由所有满足( x_1 + x_2 + x_3 = 0 )的向量组成，而子空间( W_2 )由所有满足( x_1 - x_2 - x3 = 0 )的向量组成。

(1) 要证明( P_3 = W_1 + W_2 )，我们需要证明对于( P_3 )中的任意一个向量( v = (v_1, v_2, v_3) )，都可以写成( v = w_1 + w_2 )，其中( w_1 \in W_1 )且( w_2 \in W_2 )。考虑将( v )分解为( w_1 = (a, a, -2a) )和( w_2 = (b, b, b) )，那么( v = w_1 + w_2 )即( (v_1, v_2, v_3) = (a+b, a+b, -2a+b) )。我们可以选择( a = \frac{v_3}{3} )和( b = v_1 - \frac{v_3}{3} )，这样就有( w_1 \in W_1 )（因为( a + a - 2a = 0 )）和( w_2 \in W_2 )（因为( b - b - b = 0 )），所以( v )可以表示为( W_1 )和( W_2 )中的向量之和。

(2) 接下来，我们要证明( W_1 + W_2 )不是直和。直和意味着( W_1 \cap W_2 = {0} )，也就是说，不存在非零向量同时属于( W_1 )和( W_2 )。然而，我们可以找到一个不在原点的向量同时满足两个方程：

从( W_1 )的定义我们知道( x_1 + x_2 + x_3 = 0 )，从( W_2 )的定义知道( x_1 - x_2 - x3 = 0 )。将两者相加得到( 2x_1 = 0 )，因此( x_1 = 0 )。将( x_1 = 0 )代入任一方程可得( x_2 = -x_3 )。取( x_3 = 1 )，则( x_2 = -1 )，因此向量( (0, -1, 1) )既属于( W_1 )也属于( W_2 )，但不是原点。这就表明( W_1 + W_2 )不是直和。

总结一下，我们有：

(1) 对于任何( v \in P_3 )，存在( w_1 \in W_1 )和( w_2 \in W_2 )，使得( v = w_1 + w_2 )。 (2) 存在一个非零向量( (0, -1, 1) )同时属于( W_1 )和( W_2 )，这意味着( W_1 + W_2 )不是直和。

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