对偏微分方程使用傅里叶积分变换来求解

Question

u(x，t)对t求二阶偏导加上a的平方乘以u对x的二阶偏导，等于f(x，t)，用傅里叶变换求解这个方程。边界条件见下图。中间求解变换后的线性方程是怎么得到结果的？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了求解给定的偏微分方程，我们首先应用傅里叶变换。这里我们有一个二维的偏微分方程：

[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), \quad -\infty < x < \infty, \quad t > 0 ]

以及初始条件：

[ u(x,0) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0, \quad -\infty < x < \infty ]

傅里叶变换后，我们有：

[ U(\omega,t) = \mathcal{F}[u(x,t)] ] [ F(\omega,t) = \mathcal{F}[f(x,t)] ]

对原方程两边分别进行傅里叶变换，我们得到一个关于 ( U(\omega,t) ) 的常微分方程：

[ \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} + a^2 \omega^2 U = F(\omega,t) ]

这是一个一维的二阶常系数齐次线性微分方程，其一般解为：

[ U(\omega,t) = A(\omega)e^{-i\sqrt{a^2\omega^2}t} + B(\omega)e^{i\sqrt{a^2\omega^2}t} + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\sqrt{a^2\omega^2} (t-s)}}{2\sqrt{a^2\omega^2}} F(\omega,s) ds ]

其中 ( A(\omega) ) 和 ( B(\omega) ) 是待确定的函数，取决于初始条件。

由于初始条件是 ( U(\omega,0) = 0 ) 和 ( \frac{\partial U}{\partial t}(\omega,0) = 0 )，我们可以解出 ( A(\omega) ) 和 ( B(\omega) )：

[ A(\omega) = -\frac{1}{2\sqrt{a^2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\sqrt{a^2\omega^2}s} F(\omega,s) ds ] [ B(\omega) = \frac{1}{2\sqrt{a^2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\sqrt{a^2\omega^2}s} F(\omega,s) ds ]

因此，( U(\omega,t) ) 可以写成：

[ U(\omega,t) = \frac{1}{2\sqrt{a^2\omega^2}} \left[ -e^{-i\sqrt{a^2\omega^2}t} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\sqrt{a^2\omega^2}s} F(\omega,s) ds + e^{i\sqrt{a^2\omega^2}t} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\sqrt{a^2\omega^2}s} F(\omega,s) ds \right] ]

然后，我们将 ( U(\omega,t) ) 借助反傅里叶变换转换回 ( u(x,t) )：

[ u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}[U(\omega,t)] ]

这个过程涉及到两次反傅里叶变换，通常较为复杂，并且可能依赖于具体的 ( F(\omega,t) ) 形式。对于一般情况，可能没有解析解，而需要数值方法来近似求解。

如果你能提供具体的 ( f(x,t) ) 函数，我可以帮你计算出更具体的步骤。