二重积分的立体几何问题

Question

如果把z=0写成z=1或z=-1后该怎么计算体积
并且在z=0的时候怎么算

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了方便解答，我将分别解决每个部分的问题。

A、计算由曲线y = √(50 - x^2), y = 0, z = 0, 及2x + 3y + z = 6截得的立体的体积

首先，我们需要找到这个立体的边界。根据题目描述，我们可以得到以下限制条件：

• x 轴上的边界是：x ∈ [0, √50]
• y 轴上的边界是：y ∈ [0, √(50 - x^2)]
• z 轴上的边界是：从z = 0到z = 6 - 2x - 3y

这是一个三重积分问题，我们要计算的是立体的体积，所以我们使用的函数是常数1。体积V可以通过下面的积分表达式计算：

[ V = \int_{0}^{\sqrt{50}} \int_{0}^{\sqrt{50 - x^2}} \int_{0}^{6 - 2x - 3y} dz dy dx ]

现在，我们将进行积分：

[ V = \int_{0}^{\sqrt{50}} \int_{0}^{\sqrt{50 - x^2}} (6 - 2x - 3y) dy dx ]

先对y积分：

[ V = \int_{0}^{\sqrt{50}} \left[ 6y - x(3y) - \frac{3}{2}y^2 \right]_{0}^{\sqrt{50 - x^2}} dx ]

[ V = \int_{0}^{\sqrt{50}} \left[ 6\sqrt{50 - x^2} - 3x\sqrt{50 - x^2} - \frac{3}{2}(50 - x^2) \right] dx ]

然后对x积分：

[ V = \int_{0}^{\sqrt{50}} \left[ 6\sqrt{50 - x^2} - \frac{3}{2}\sqrt{(50 - x^2)^3} - \frac{150}{2}x + \frac{3}{2}x^3 \right] dx ]

由于积分比较复杂，这里我们使用Python的sympy库来进行计算：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
V = sp.integrate(6*sp.sqrt(50 - x**2) - 3/2*(50 - x**2)**(3/2) - 75*x + 3/2*x**3, (x, 0, sp.sqrt(50)))
V.evalf()

执行这段代码将会得出体积的数值结果。

B、计算由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面y=-x+2切割后的质量

密度函数为 ( u(x,y) = x^2 + \frac{1}{2} )，质量M可以通过下面的二重积分计算：

[ M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} (x^2 + \frac{1}{2}) dx dy ]

首先对x积分：

[ M = \int_{0}^{1} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x}{2} \right]_{0}^{y} dy ]

[ M = \int_{0}^{1} \left[ \frac{y^3}{3} + \frac{y}{2} \right] dy ]

然后对y积分：

[ M = \left[ \frac{y^4}{12} + \frac{y^2}{4} \right]_{0}^{1} ]

[ M = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} ]

[ M = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} ]

[ M = \frac{4}{12} ]

[ M = \frac{1}{3} ]

因此，切割后的质量是 ( \frac{1}{3} ) 单位质量。

C、当z=0写成z=1或z=-1时如何计算体积

在三维空间中，改变z的范围并不会影响立体的形状，只会改变其高度。例如，如果你将z=0改为z=1，那么新的立体的高度就是从z=1到z=6 - 2x - 3y。但是，由于体积的计算公式不包含z的上限，所以这不会改变体积的值。同样地，如果将z=0改为z=-1，立体的高度就变为从z=-1到z=6 - 2x - 3y，这也不会改变体积。因此，对于这个问题，无论z取0还是±1，体积都是相同的，并不需要重新计算。

总结一下，你需要做的就是按照上述步骤分别计算体积和质量。如果你在执行过程中遇到任何困难，或者需要进一步的帮助，请随时告诉我。