贝塞尔函数两项积分的化简有疑问

Question

我在复现一篇论文的时候出现了问题，有人能帮我解决吗？
我具体是看不懂他是怎么从10变换到11和13的。从10到11的时候e的-ud去那里了？怎么消掉的?
其中u是关于lamda的函数，d是一个常数。l=sqrt(s^2+d^2)

Answer 1

下午好🌅🌅🌅
本答案参考ChatGPT-3.5

这篇论文里从公式（10）到公式（11）的变换是通过Gegenbauer公式和Bessel函数的基本公式进行的。关于从公式（10）到公式（11）的变换，涉及到Bessel函数的求导公式，在求导时需要注意乘积法则的运用。

从公式（10）到公式（11）的变换步骤如下：

1. 根据Bessel函数的基本公式，有：

$Jo(s) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(s \sin\theta) d\theta$

1. 通过引入单位阶数的第一类Bessel函数J1(s)，利用乘积法则将其求导，得到：

$\frac{d}{ds} (sJ_{o}(s)) = sJ_{1}(s)$

1. 将公式（2）中的J0(s)替换为$\frac{1}{s} \frac{d}{ds}(sJ_{o}(s))$，得到：

$\int_{0}^{a} Jo(s)ds = \frac{1}{a}[sJ_{o}(s)]{0}^{a} + \frac{1}{a} \int{0}^{a} sJ_{1}(s)ds$

1. 将式子整理可得到公式（11）。

关于从公式（10）到公式（13）的变换，需要根据公式（9）-（11）将公式（8）进行简化，涉及到微积分中的分部积分法则，具体的步骤如下：

1. 将公式（9）-（11）代入公式（8）并整理得：

$\int_{\Sigma} \mathrm{J}{0}(k R) \mathrm{J}{1}\left(k R^{\prime}\right) \mathrm{e}^{-i k\left(l-d\right)} d S=d^{2} \int_{0}^{\infty} J_{1}^{2}(u) d u \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{-i \mu} d \mu+2 \pi d \int_{0}^{\infty} J_{0}(u d) J_{1}(u R) J_{0}(u R^{\prime}) \frac{u}{R} d u$

1. 对于第二项，应用分部积分法，则有：

$\int_{0}^{\infty} J_{0}(ud) J_{1}(u R) J_{0}(u R^{\prime}) \frac{u}{R} du=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} J_{0}(u d) I_{0}\left(u\left[R^{2}+R^{\prime 2}-2 R R^{\prime} \cos(\phi)\right]^{1 / 2}\right) d u$

其中，$I_{0}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x \cos \theta} d \theta$。

1. 将（2）和（3）代入公式（8）中并整理，就可以得到公式（13）。

需要注意的是，公式（13）中有一个误植，其中参数a应为R。