想问个积分问题，关于三角函数的

Question

这样做对吗？谢谢各位！谢谢大家！积分不好做！感谢大家的帮助！

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

当然可以帮你解决这个问题。看起来你在询问两个关于三角函数积分的问题。

问题一：

首先，从图1来看，你似乎在计算不定积分 (\int \sec^3(x) dx)。这是一个常见的积分问题，可以通过分部积分法或者将 (\sec^3(x)) 分解为 (\sec(x)(\sec^2(x))) 来解决。这里我展示分解的方法：

[ \int \sec^3(x) dx = \int \sec(x) \cdot \sec^2(x) dx ]

由于 (\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x))，我们可以进一步写成：

[ \int \sec(x)(1 + \tan^2(x)) dx = \int (\sec(x) + \sec(x)\tan^2(x)) dx ]

然后分别积分这两部分：

[ = \int \sec(x) dx + \int \sec(x)\tan^2(x) dx ]

第一部分 (\int \sec(x) dx) 可以通过记住特殊公式解决（也可以通过分部积分得到）：

[ \int \sec(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C_1 ]

第二部分 (\int \sec(x)\tan^2(x) dx) 可以再次利用 (\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)) 进行替换：

[ \int \sec(x)\tan^2(x) dx = \int \sec(x)(\sec^2(x) - 1) dx = \int (\sec^3(x) - \sec(x)) dx ]

对于这部分，我们已经知道 (\int \sec^3(x) dx) 的一部分了，另一部分就是 (\int \sec(x) dx)。所以，我们可以这样整合：

[ \int \sec^3(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) - \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C_2 ]

简化后得到：

[ \int \sec^3(x) dx = \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C ]

其中 (C = C_1 + C_2) 是常数。

问题二：

图2中的积分 (\int \tan(x) dx) 更简单，可以直接使用基本的三角函数积分规则得到：

[ \int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C ]

因为 (\tan(x) = \sin(x)/\cos(x))，其导数是 (-\cos(x)^{-2} = -\sec^2(x))，而 (\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C)。

总结一下，答案是：

[ \int \sec^3(x) dx = \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C ] [ \int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C ]