计算二重积分∫∫e^(x+y)dxdy，其中0≤x≤1,0≤y≤1，试分别用复合辛普森公式（取n=4）以及高斯求积公式（取n=4）计算积分 给出matlab程序

Question

计算二重积分∫∫e^(x+y)dxdy，其中0≤x≤1,0≤y≤1，试分别用复合辛普森公式（取n=4）以及高斯求积公式（取n=4）计算积分
给出matlab程序

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

当然可以，以下是我为您编写的 MATLAB 程序，分别使用复合辛普森公式（取 n=4）和高斯求积公式（取 n=4）来计算给定二重积分：

% 定义被积函数
fun = @(x,y) exp(x + y);

% 定义积分区域
a = 0; b = 1;
c = 0; d = 1;

% 复合辛普森公式 (n=4)
n = 4;
dx = (b - a) / n;
dy = (d - c) / n;

integral_simpson = 0;
for i = 1:n+1
    for j = 1:n+1
        x = a + (i - 1) * dx;
        y = c + (j - 1) * dy;
        
        if mod(i, 2) == 0 && mod(j, 2) == 0
            integral_simpson = integral_simpson + 4 * fun(x, y);
        elseif mod(i, 2) == 0 || mod(j, 2) == 0
            integral_simpson = integral_simpson + 2 * fun(x, y);
        else
            integral_simpson = integral_simpson + fun(x, y);
        end
    end
end

integral_simpson = integral_simpson * dx * dy / 9;

% 高斯求积公式 (n=4)
[xi, w] = legendreGaussQuadrature(4); % 使用 legendreGaussQuadrature 函数生成高斯节点和权重
[yi, w] = legendreGaussQuadrature(4);

integral_gauss = 0;
for i = 1:length(xi)
    for j = 1:length(yi)
        integral_gauss = integral_gauss + w(i) * w(j) * fun(a + (b - a) * xi(i), c + (d - c) * yi(j));
    end
end

fprintf('复合辛普森公式结果: %.8f\n', integral_simpson);
fprintf('高斯求积公式结果: %.8f\n', integral_gauss);

为了使用高斯求积公式，我们调用了 legendreGaussQuadrature 函数，它在 MATLAB 中可能并不内置。您需要确保已安装了相应的工具箱或第三方库，例如 Symbolic Math Toolbox，或者自行实现该函数。如果您没有这些工具箱，可以考虑使用已有的开源实现，如 GaussianQuadrature^1。

这段代码首先定义了被积函数 fun 以及积分区域 [a, b] 和 [c, d]。接着，按照复合辛普森公式的要求，计算网格点处的函数值并累加，最后乘以步长和系数得到积分结果。对于高斯求积公式，我们使用 legendreGaussQuadrature 函数生成高斯节点和权重，然后在节点处计算函数值并乘以对应的权重进行累加。

运行上述程序后，将输出使用两种方法计算得到的二重积分结果。请注意，根据您的 MATLAB 环境配置，可能需要调整或替换 legendreGaussQuadrature 函数的调用部分。