应该如何判断含间隙的曲柄摇杆机构，轴与轴承是否发生了碰撞？

Question

含有关节间隙的四杆机构，轴与轴承直接有间隙，

理想情况下(也就是没有间隙情况下)的几何关系矢量方程列写出来。而含有间隙的情况下几何矢量方程也列写了出来，那么我是怎么分析出来偏心矢量的数值呢？如果用理想情况下的角度，那显然是不行的，此时我应该怎么办呢？ (杆件的长度，质量已知，且理想情况下的角度也已知)

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

对于您提出的含间隙曲柄摇杆机构中轴与轴承是否发生碰撞的问题，我们可以通过以下步骤进行判断：

1. 建立理想情况下的几何模型

根据您提供的图3-1，我们可以确定四连杆机构各杆件（AB、BC、CD、DA）的长度（L1、L2、L3、L4）以及铰链中心点（A、B、C、D）的坐标。在理想无间隙条件下，各杆件绕其铰链中心自由旋转，形成一定的相对运动关系。此时，可以通过解析几何方法，利用杆件长度及理想情况下的角度关系，建立各杆件端点相对于固定参考系的坐标表达式。

2. 构建理想情况下的矢量方程

理想情况下，杆件端点之间的相对位置关系可以用矢量方程表示。设杆件AB的端点A为原点，其角度为θ1，杆件BC端点B相对于A的角度为θ2，以此类推，可以写出各杆件端点的坐标方程。例如：

• 杆件AB端点B的坐标：B = L1 * (cos(θ1), sin(θ1))
• 杆件BC端点C的坐标：C = B + L2 * (cos(θ2), sin(θ2)) = L1 * (cos(θ1), sin(θ1)) + L2 * (cos(θ2), sin(θ2))

以此类推，可以得到所有杆件端点的坐标表达式。

3. 考虑间隙影响

在实际存在间隙的情况下，各杆件绕其铰链中心旋转时，会因间隙的存在导致实际位置相对于理想位置产生偏移。由您提供的式(3-10)及其投影方程可知，间隙矢量r的大小与各杆件旋转角度有关。将间隙矢量r分别加到各杆件端点的理想坐标上，即可得到考虑间隙影响后的实际坐标：

• 实际坐标B' = B + r_B
• 实际坐标C' = C + r_C
• ...

其中，r_B、r_C等为对应杆件端点处的间隙矢量。

4. 判断轴与轴承是否发生碰撞

对于轴与轴承间的碰撞，我们需要关注以下几个关键部位：

• 各杆件端点与轴的相对位置：检查实际坐标B'、C'、D'、A'是否与轴发生重叠或距离小于间隙允许值。
• 铰链中心点与轴承的相对位置：检查铰链中心点A、B、C、D是否与轴承发生重叠或距离小于间隙允许值。

通过计算上述关键部位的实际坐标与轴或轴承的位置关系，可以判断是否存在碰撞风险。若任一关键部位的实际坐标与轴或轴承的距离小于间隙允许值，则认为轴与轴承发生了碰撞。

代码实现示例：

由于您未提供具体数值和角度信息，以下仅为伪代码框架，供您参考：

import numpy as np

# 已知参数
L1, L2, L3, L4 = ...  # 杆件长度
θ1_ideal, θ2_ideal, θ3_ideal, θ4_ideal = ...  # 理想角度
gap_tolerance = ...  # 间隙允许值

# 计算理想情况下各杆件端点坐标
B_ideal = L1 * np.array([np.cos(θ1_ideal), np.sin(θ1_ideal)])
C_ideal = B_ideal + L2 * np.array([np.cos(θ2_ideal), np.sin(θ2_ideal)])
D_ideal = C_ideal + L3 * np.array([np.cos(θ3_ideal), np.sin(θ3_ideal)])
A_ideal = D_ideal + L4 * np.array([np.cos(θ4_ideal), np.sin(θ4_ideal)])

# 根据式(3-10)及其投影方程计算间隙矢量r（此处需根据具体公式实现）
r_B, r_C, r_D, r_A = calculate_gap_vectors(θ1_ideal, θ2_ideal, θ3_ideal, θ4_ideal)

# 计算考虑间隙影响后的实际坐标
B_actual = B_ideal + r_B
C_actual = C_ideal + r_C
D_actual = D_actual + r_D
A_actual = A_ideal + r_A

# 轴与轴承位置信息
axis_positions = ...  # 轴的位置列表
bearing_positions = ...  # 轴承的位置列表

# 判断轴与轴承是否发生碰撞
for point in [B_actual, C_actual, D_actual, A_actual]:
    for axis_pos in axis_positions:
        if np.linalg.norm(point - axis_pos) < gap_tolerance:
            print("Point {} is too close to the axis.".format(point))
    for bearing_pos in bearing_positions:
        if np.linalg.norm(point - bearing_pos) < gap_tolerance:
            print("Point {} is too close to a bearing.".format(point))

# 判断铰链中心点与轴承是否发生碰撞（同理，此处需根据铰链中心点实际位置计算）
for hinge_pos in [A, B, C, D]:  # 假设已知铰链中心点实际位置
    for bearing_pos in bearing_positions:
        if np.linalg.norm(hinge_pos - bearing_pos) < gap_tolerance:
            print("Hinge center {} is too close to a bearing.".format(hinge_pos))

请根据实际情况填充上述代码中的已知参数、轴与轴承位置信息以及间隙矢量计算函数calculate_gap_vectors()，以完成轴与轴承碰撞判断。

总结：判断含间隙曲柄摇杆机构中轴与轴承是否发生碰撞，需先构建理想情况下的几何模型和矢量方程，然后考虑间隙影响修正各杆件端点和铰链中心点的实际位置，最后计算这些关键部位与轴、轴承的相对位置关系，判断是否存在距离小于间隙允许值的情况。根据上述步骤和代码示例，您可以对具体问题进行分析和编程实现。