分数阶微分方程组传染病模型的最优控制

Question

分数阶ode用 adams线性法进行离散迭代，再基于 ode 算出来的伴随函数和控制函数 做最优控制

Answer 1

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问题分析： 此问题可以根据题目要求分为两个部分来解答：分数阶ODE的Adams线性法离散迭代以及基于ODE算出的伴随函数和控制函数做最优控制。 解答： 一、分数阶ODE的Adams线性法离散迭代

1. 分数阶ODE的概念 分数阶ODE是ODE的一种扩展形式，可以描述非整数阶微积分的微分方程。其形式为： $$ D^{\alpha}{0+}y(t)=f(t,y(t)) $$ 其中，$\alpha$为实数，$D^{\alpha}{0+}$为Riemann-Liouville分数阶导数算子，$y(t)$为待求函数，$f(t,y(t))$为已知函数。
2. Adams线性法 Adams线性法是ODE的一种数值计算方法，可以通过已知的初始值来逼近待求函数。其基本思想为：将待求函数按照一定的精度展开成Taylor级数，并使用线性化的方式进行逼近。 此处采用的是Adams-Bashforth-Moulton方法，其具体公式为： $$ y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=0}^k b_i f_{n-i} $$ 其中，$h$为时间步长，$b_i$为系数。
3. 分数阶ODE的Adams线性法离散迭代 将上述两种方法结合起来，可以得到分数阶ODE的Adams线性法离散迭代公式： $$ y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=0}^k b_i D^{\alpha}{t{n-i}+}y_{n-i}+h\sum_{i=0}^k b_i f_{n-i} $$ 其中，$D^{\alpha}{t{n-i}+}$为Riemann-Liouville分数阶导数算子，$f_{n-i}=f(t_{n-i},y_{n-i})$为已知函数，$b_i$为系数。 二、基于ODE算出的伴随函数和控制函数做最优控制
4. 伴随函数和控制函数 在计算优化问题时，可以通过求解伴随函数和控制函数来求解最优控制策略。 伴随函数满足如下的伴随ODE： $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial H}{\partial y}=0 $$ 其中，$H$为哈密尔顿函数，$\dot{y}$为$y$的导数。 控制函数是在最优控制问题中引入的一个新变量，其定义为： $$ u=\frac{\partial H}{\partial w} $$ 其中，$w$为控制变量。
5. 最优控制 在求解最优控制问题时，需要先设置相应的目标函数和约束条件，然后使用求解伴随函数和控制函数的方法来求解最优控制策略。 例如，当优化目标为最小化系统运行时间$t$时，可以设置目标函数为： $$ J=\int_0^t dt $$ 约束条件可以根据具体问题进行设置，例如，可以设置终端状态为一定值、控制变量在一定范围内等等。 通过求解伴随函数和控制函数，可以得到最优控制策略$u^$，然后将其代入原方程中求解得到最优解$y^$。具体求解方法可以采用数值计算方法，例如，可以使用有限元方法或有限差分方法进行求解。 代码实现： 下面是基于Python语言实现分数阶ODE的Adams线性法离散迭代的示例代码：

import numpy as np
# 设置参数
alpha = 0.5  # 分数阶阶数
t0, tn = 0, 1  # 时间范围
n = 10  # 离散点数
h = (tn - t0) / n  # 时间步长
# 定义函数
def f(t, y):
    return -t**2 + y
# 初始化
t = np.linspace(t0, tn, n + 1)
y = np.zeros(n + 1)
d = np.zeros(n + 1)
# 设置初值
y[0] = 1
d[0] = y[0]
# Adams线性法离散迭代
for i in range(0, 2):
    k1 = h * f(t[i], y[i])
    k2 = h * f(t[i] + h / 2, y[i] + k1 / 2)
    k3 = h * f(t[i] + h / 2, y[i] + k2 / 2)
    k4 = h * f(t[i] + h, y[i] + k3)
    y[i + 1] = y[i] + 1 / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
# 分数阶Adams线性法离散迭代
for i in range(2, n):
    d[i + 1] = y[i] + h / (gamma(alpha + 2)) * \
        (2 * gamma(alpha + 2) * f(t[i], y[i])
         - gamma(alpha + 1) * f(t[i - 1], y[i - 1])
         + h * gamma(alpha + 1) * f(t[i - 2], y[i - 2]))
    y[i + 1] = d[i + 1] + h / (gamma(alpha + 2) * gamma(alpha + 1)) * \
        (gamma(alpha + 2) * f(t[i + 1], d[i + 1])
         + gamma(alpha + 1) * f(t[i], y[i])
         - gamma(alpha + 1) * f(t[i - 1], y[i - 1]))
    print("y[{}] = {}".format(i + 1, y[i + 1]))

下面是基于Python语言实现最优控制问题求解的示例代码：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
# 定义函数
def f(t, y, p):
    u, w = p
    return np.array([-y[1], u + w * y[1]])
# 定义控制系统ODE
def control_sys(t, y, p):
    u, w = np.array(p)
    return f(t, y, [u, w])
# 定义伴随ODE
def adjoint_sys(t, adjoint, p, y):
    u, w = np.array(p)
    return np.array([-adjoint[0] - y[1], -adjoint[1] + w * adjoint[0]])
# 定义目标函数
def objective(u):
    t_eval = np.linspace(0, 1, 100)
    y0 = [0, 0]
    p = [u, 1]
    sol = solve_ivp(control_sys, [0, 1], y0, t_eval=t_eval, args=(p,))
    # 计算伴随函数
    adjoint0 = np.array([0, 0])
    adjoint = solve_ivp(adjoint_sys, [1, 0], adjoint0, t_eval=t_eval[::-1], args=(p, sol.y))
    # 计算目标函数
    return np.trapz(sol.t, dx=0.01) + adjoint.y[1][0]
# 定义约束条件
cons = {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: 0.5 - x}
bnds = [(0, 0.5)]
# 使用SLSQP算法求解最优控制问题
from scipy.optimize import minimize
u0 = 0.1
res = minimize(objective, u0, method='SLSQP', bounds=bnds, constraints=cons)
# 输出结果
print("u* = ", res.x)

以上代码仅为示例代码，具体的数值计算方法和数学模型需要根据具体问题进行调整。