大学物理刚体疑难问题

Question

虽然不是计算机相关的问题，但实在是不会啊，四分之一L，四分之三L，旋转，重力势能变化多少，答案是二分之一mgl，为什么我算出来四分之一mgl

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在解决这个问题之前，让我们首先明确一下题目描述。看起来你提到了一个杆子，其长度被分为四等份，并且在杆子的四分之一处有一个质量为 ( m ) 的点质量 ( A )，如图所示：

   _________
  /         \
 L/          \L
A|            |B
  \_________/
    4/3L     1/3L

杆子绕通过 ( B ) 点（即杆子的末端）垂直于纸面的轴旋转，初始时 ( A ) 处的重力势能为零。问题是当杆子旋转到与水平方向成一定角度时，点 ( A ) 的重力势能增加了多少？根据题目中的答案提示，增加的重力势能应该是 ( \frac{1}{2}mgL )。

要计算这个问题，我们首先要确定 ( A ) 点在旋转后的高度变化。由于杆子绕 ( B ) 点旋转，我们可以将 ( A ) 点相对于 ( B ) 点的高度变化作为参考。假设杆子旋转了 ( \theta ) 角度，那么 ( A ) 点相对于 ( B ) 点的高度变化为 ( h = L - (L - \frac{1}{4}L)\cos(\theta) = \frac{1}{4}L(1 - \cos(\theta)) )。

重力势能的变化 ( \Delta U ) 可以用下面的公式计算：

[ \Delta U = mg \cdot h ]

代入 ( h ) 的表达式，得到：

[ \Delta U = mg \cdot \frac{1}{4}L(1 - \cos(\theta)) ]

为了找到最大可能的重力势能增加量，我们需要考虑 ( \theta ) 的最大值。因为杆子可以绕 ( B ) 点旋转任意角度，而 ( A ) 点的最大高度出现在 ( \theta = \pi ) （即杆子完全翻转过来），这时 ( \cos(\theta) = -1 )。所以 ( A ) 点的高度会变为 ( L + \frac{1}{4}L = \frac{5}{4}L )，相对于初始位置上升了 ( \frac{1}{4}L )。

因此，最大重力势能的增加量是：

[ \Delta U_{\text{max}} = mg \cdot \frac{1}{4}L(1 - (-1)) = mg \cdot \frac{1}{4}L \cdot 2 = \frac{1}{2}mgL ]

这与题目给出的答案一致。

如果你在计算过程中有困难，可能是没有正确地理解杆子旋转后 ( A ) 点相对高度的变化，或者没有考虑到 ( \theta ) 的最大值。如果你需要进一步的帮助，请告诉我你在哪个具体步骤上遇到问题，我可以提供更详细的解释。