求解定积分问题中所遇到的困难

Question

以上是关于定积分的求解的两种解法，解法上十分相似，我觉得应该是积分上下限的转换出现问题了，但不知道如何解决。解法1是答案。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在您提供的解题方法中，确实存在一些混淆的地方。让我们一步步分析并改正这些错误。

首先，题目要求计算的是定积分 (\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx)。这个积分可以被看作是一个半径为1的单位圆的上半部分的面积（因为 (y = \sqrt{1 - x^2}) 是单位圆的上半部分方程），所以它的值是 (\frac{\pi}{2})。不过，这里我们按照您的解题思路继续进行。

解法1: [ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx ] 这是因为原函数是偶函数，其在 ([-1, 1]) 上的积分可以通过只考虑正半轴上的积分然后乘以2得到。

解法2: [ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx = \int_{-1}^{1} \arcsin(x) , dx ] 这个变换也是正确的，因为 (\sqrt{1 - x^2}) 可以写作 (\sin(\arcsin(x)))，而对 (\sin(u)) 积分就是 (\arcsin(x)) 加上一个常数。

接下来，解法2中的换元步骤有些混乱。正确地应用换元法，我们应该有： [ x = \sin(t), \quad dx = \cos(t) , dt ]

当 (x = -1) 时，(t = -\frac{\pi}{2})，当 (x = 1) 时，(t = \frac{\pi}{2})。因此，换元后的积分变成了： [ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t \cdot (-\cos(t)) , dt ] 这是一个奇函数在对称区间上的积分，其结果为零。

要修正这个问题，我们可以将整个过程重新整理一下。以下是完整的解法2：

设 (x = \sin(t))，则 (dx = \cos(t) , dt)。由于 (x) 的范围是从 (-1) 到 (1)，对应的 (t) 范围是从 (-\frac{\pi}{2}) 到 (\frac{\pi}{2})。

所以我们有： [ \int_{-1}^{1} \arcsin(x) , dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \arcsin(\sin(t)) \cdot \cos(t) , dt ] 注意到 (\arcsin(\sin(t)) = t) 对于 (t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])，因为我们关心的是 (\arcsin) 的主值域。

这样就得到了： [ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t \cdot \cos(t) , dt ]

但是这个积分仍然是一个奇函数在对称区间上的积分，其结果同样为零。这与我们最初通过观察得出的结论矛盾：这个定积分应该等于 (\frac{\pi}{2})。

实际上，当我们使用换元法时，我们不应该对 (\arcsin(x)) 进行换元，因为它已经是最简形式，而且可以直接积分。只有当原始函数更复杂时，例如含有根号或三角函数组合时，才需要用到换元法。在这个特定情况下，最简单的方法就是直接积分 (\sqrt{1 - x^2})。

总结一下，正确的解答应该是： [ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx ] 其中第二个积分的结果就是 (\frac{\pi}{2})，因为它是单位半圆的面积的一半。

所以最终结果是： [ 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi ]

这就是整个定积分的正确计算过程。如果你还有其他数学问题，欢迎随时提问。