推论13中，第二个界是怎么得到的呢？

Question

图论的论文，关于Aa矩阵的，推论13的第二个下界怎么得到的，一直算不出来，文中也没给具体过程。

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考ChatGPT-3.5

在论文中，推论13的第二个下界可以从命题12和命题14中得出。具体来说，命题12给出了星形图Ao的谱半径，结合命题14可以得到$$ A_a(G)≥(A(K_a))=(a^2+a\Delta+4a_1-2) $$ 其中$\Delta=\Delta(G)$是图的最大度数，$a_1$是第一个子项的值（具体细节请参考文献）。此外，当且仅当$G=K_1\Delta$时等式成立。我们可以通过以下步骤得到命题13的第二个界：

1.根据命题12和14，得到$$ A_a(G)≥(A(K_a))=(a^2+a\Delta+4a_1-2) $$

2.将$(a^2+a\Delta+4a_1-2)$中的$\Delta$替换为$\Delta+1-1$，然后展开平方项，得到$$ A_a(G)≥(a+1)(a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1)) $$

3.当$a∈[0,1/2]$时，$a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1))≥\Delta$，因此$$(a+1)(a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1))≥a(\Delta+1)$$

4.当$a∈[1/2,1]$时，可以最大化$a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1))$，以得到$$ a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1))≥\frac{\Delta^2}{4} $$

将此代入上式得到$$ (a+1)(a+(1-a)\Delta+2a_1/((a+1)(1-a))-1/(a+1))≥a\Delta+\frac{(1-a)^2}{a} $$

综合以上结果，我们得到了命题13的第二个界。