用飞行棋模型简单说明拒绝-接受法的思想

Question

1. “飞行棋模型”. 用飞行棋模型简单说明拒绝-接受法的思想. 在飞行棋游戏中, 飞机停在飞机场里面,
   游戏者投掷一个骰子, 骰子以相等的概率取1到6之间的某个整数. 只有掷到6, 飞机才能起飞, 也就是
   可以移动到机场出口, 并可以开始移动.
   为了提高飞机起飞的概率, 重新定义飞行棋的规则: 每个人掷骰子时, 如果掷到6, 则结果取6; 如果掷
   不到6, 可以有多一次机会掷, 并以第二次投掷结果为最终结果. 忽略飞行棋中掷到6可以再掷一次的
   规则.
   (1) 请问在新规则下, 结果取1,2,3,4,5,6的概率分别是多少?
   (2) 如果我希望掷到6的机会是掷到任何另一个数字的机会的两倍, 允许另外使用一枚均匀的硬币,
   请设计一个投掷方案, 并说明你的方案中哪个是目标分布, 哪个是建议分布和辅助分布.

Answer 1

下午好🌅🌅🌅
本答案参考ChatGPT-3.5

1. 第一问：在新规则下，结果取1，2，3，4，5，6的概率分别是多少？

答：在新规则下，掷到每个数字的概率为：

• 掷到6的概率为1/6；
• 掷到1-5的概率为5/6 * 1/6 = 5/36，其中5/6为第一次掷不中6的概率，1/6为第二次掷到这个数字的概率。

因此，结果取1，2，3，4，5，6的概率分别为：

• 接收到1的概率为5/36；
• 接收到2的概率为5/36；
• 接收到3的概率为5/36；
• 接收到4的概率为5/36；
• 接收到5的概率为5/36；
• 接收到6的概率为1/6。

1. 第二问：如果我希望掷到6的机会是掷到任何另一个数字的机会的两倍，允许另外使用一枚均匀的硬币，请设计一个投掷方案，并说明你的方案中哪个是目标分布，哪个是建议分布和辅助分布。

答：根据拒绝-接受法的思想：

• 目标分布：掷到6的概率是掷到任何一个数字的概率的两倍，即p(6) = 2/7，p(1-5) = 1/7。
• 建议分布：每个数字的掷到概率为1/6。
• 辅助分布：使用均匀硬币来决定是否接受建议分布的结果。

具体的投掷方案如下：

• Step 1：掷骰子，如果掷到6，则接受结果。
• Step 2：如果掷到1-5，抛硬币，正面朝上则接受结果，反面朝上则重新掷骰子。
• Step 3：返回Step 1。

此方案中，建议分布为每个数字的掷到概率为1/6，目标分布为掷到6的概率是掷到任何一个数字的概率的两倍，辅助分布为掷硬币的结果。