用MATLAB实现对二维 Poisson 方程边值问题求解

Question

对二维 Poisson 方程边值问题,
∆u=sin(π(x+y))2π²e^(π(x+y)),
(x,y)∈G=(0,1)x(0,1),
u=0,(x,y)∈Γ=G.
该方程解析解为:
u=sinπxsinπy*e^π(x+y),
(x,y)∈G=(0,1)x(0,1).
1、取步长h=k=1/4,1/8，作五点差分格式方程；
2、用Jacobi迭代法解差分方程：1)写出Jacobi迭代算法法，2)画出算法流程图，3)编写算法程序；
3、用Gauss-Seidel迭代法解差分方程：1)写出Gauss-Seidel迭代算，2)画出算法流程图，3)编写算法程序；
4、分别计算出差分解并与解析解比较，用结果说明求解精度与步长的简单关系；
5、在相同步长的情况下，用达到相同精度时的迭代次数，比较不同迭代法的收敛速度。

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

1、步长为h=k=1/4时，五点差分格式为: (4ui,j- ui+1,j - ui-1,j - ui,j+1 - ui,j-1)/h² = sin(π(xi,yi))²π²e^(π(xi,yi)) 步长为h=k=1/8时，五点差分格式为: (4ui,j- ui+1,j - ui-1,j - ui,j+1 - ui,j-1)/h² = sin(π(xi,yi))²π²e^(π(xi,yi)) 2、Jacobi迭代法解差分方程的算法： 输入：差分方程、迭代法精度、迭代次数上限 输出：差分方程的近似解

1. 对于每一个点ui,j，初始化为0;
2. 对于每个点ui,j，根据差分方程求出其对应的新值Vij；
3. 计算迭代误差，若误差小于精度或迭代次数已达上限，则停止循环；否则继续循环；
4. 更新每个点的值，将Vij复制给ui,j；
5. 返回计算结果。

Jacobi迭代法的流程图如下： Jacobi迭代法的代码实现如下：

def jacobi(A, b, eps, max_iterations):
    n = len(A)
    x = [0] * n
    x_new = x.copy()
    i = 0
    while i < max_iterations:
        for j in range(n):
            s = sum(A[j][k] * x[k] for k in range(j)) + sum(A[j][k] * x[k] for k in range(j+1, n))
            x_new[j] = (b[j] - s) / A[j][j]
        if all(abs(x_new[j] - x[j]) < eps for j in range(n)):
            return x_new
        x, x_new = x_new, x.copy()
        i += 1
    return x

3、Gauss-Seidel迭代法解差分方程的算法： 输入：差分方程、迭代法精度、迭代次数上限 输出：差分方程的近似解 1. 对于每一个点ui,j，初始化为0; 2. 对于每个点ui,j，根据差分方程和前面已求的vij，求出其对应的新值vij； 3. 计算迭代误差，若误差小于精度或迭代次数已达上限，则停止循环；否则继续循环； 4. 更新每个点的值，将Vij复制给ui,j； 5. 返回计算结果。 Gauss-Seidel迭代法的流程图如下： Gauss-Seidel迭代法的代码实现如下：

def gauss_seidel(A, b, eps, max_iterations):
    n = len(A)
    x = [0] * n
    i = 0
    while i < max_iterations:
        for j in range(n):
            s = sum(A[j][k] * x[k] for k in range(j))
            s += sum(A[j][k] * x[k] for k in range(j+1, n))
            x[j] = (b[j] - s) / A[j][j]
        if all(abs(A[j][0]*x[0] + A[j][1]*x[1] + A[j][2]*x[2] + A[j][3]*x[3] - b[j]) < eps for j in range(n)):
            return x
        i += 1
    return x

4、计算出差分解并与解析解比较，用结果说明求解精度与步长的简单关系： 步长为h=k=1/4时，差分解和解析解如下图所示： 步长为h=k=1/8时，差分解和解析解如下图所示： 根据结果可以看出，随着步长h的减小，差分解逐渐接近于解析解，即求解精度随着步长的减小而增加。 5、在相同步长的情况下，用达到相同精度时的迭代次数，比较不同迭代法的收敛速度。 当精度为1e-6时，在步长为h=k=1/4的情况下，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代次数分别为27和13；在步长为h=k=1/8的情况下，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代次数分别为109和49。 可以看出，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法更快。