⑷A₄为S₄的 ___子群.

Question

交错群A₄的特点有：⑴A₄的阶为12；⑵全是_置换；⑶（S₄：A₄）= ，⑷A₄为S₄的 子群。（注所填答案文字或数字用逗号隔开）

Answer 1

参考免费微信小程序：皆我百晓生 作答，经由专家-皆知整理回复，如问题解决，望采纳；如仍有疑问，请评论回复。

在解答您的问题之前，让我们先明确一下背景知识。S₄表示所有在四个元素集合上的置换群，而A₄是S₄的一个特殊子群，称为交错群，它包含所有在四个元素上产生偶置换的元素。

对于您的问题，我们逐一解答：

⑴ A₄的阶为12，这是正确的，因为A₄包含了所有偶置换，而四个元素的偶置换总数恰好是12。

⑵ 全是置换，这里的描述稍显模糊，但若理解为A₄包含的元素都是置换，则正确。更准确地说，A₄由所有在四个元素上作用的偶置换构成。

⑶ （S₄：A₄），这是商群的概念，表示S₄通过A₄的陪集划分得到的商群的阶。S₄的阶为24（因为4! = 24），A₄的阶为12，所以(S₄:A₄)的值实际上是S₄的阶除以A₄的阶，即24 / 12 = 2。这意味着S₄/A₄是一个有两个元素的群，也就是循环群Z₂。

⑷ A₄为S₄的正常子群。这是关键性质，因为不是所有的子群都是正常子群，但在S₄中，A₄满足正常子群的定义，即对于S₄中的任意元素σ和A₄中的任意元素τ，στσ⁻¹也在A₄中。这一点在研究群论时非常重要，特别是在考虑商群时。

因此，填空部分应该是这样的：

A₄为S₄的正常子群。

至于您提到的画图、代码等要求，在这个上下文中并不适用，因为我们讨论的是理论概念而非编程实现或图形展示。如果您有关于如何通过数学表达式或逻辑推导进一步理解这些概念的需求，请随时询问。