什么是DW分解，它和列生成是如何结合的

Question

用简单的例子说明01整数规划问题的DW分解如何进行，以及它是如何和列生成结合的。

Answer 1

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01整数规划问题的DW分解是将原问题分解为一系列子问题，每个子问题均为独立的0-1线性规划问题。通过求解子问题，可以得到原问题的最优解。DW分解的过程包括两个步骤：划分和合并。 首先进行划分，将变量集合划分为若干个子集，每个子集中包含0或1个变量。将每个子集作为一个0-1线性规划问题进行求解。由于每个子集只包含指定的变量，相当于对原问题进行了局部线性松弛。因此，每个子问题的解都是原问题线性松弛下的最优解。 接着进行合并，将子问题的最优解组合成一个整体最优解。这可以通过分支界限法来实现，每个子问题的最优解作为分支界限法的下限，可以帮助分支界限法更快地寻找整体最优解。 DW分解和列生成结合可以进一步加快整数规划问题的求解速度。列生成是一种基于单纯形算法的求解方法，它的核心思想是动态生成变量，并将其添加到线性规划问题中。列生成和DW分解的结合可以在一定程度上减少问题的规模，提高求解速度。具体做法是，在DW分解划分变量集合的基础上，使用列生成方法求解每个子问题。将列生成得到的子问题中的变量作为一个新的子集，添加到DW分解的变量集合中，重新进行划分和求解。这样，可以不断地动态生成变量，逐步求得最优解。具体实现可参考如下代码：

// DW分解
vector<set<int>> subsets; // 划分后的子集
for (int i = 0; i < n; i++) {
    set<int> sub;
    sub.insert(i);
    subsets.push_back(sub);
}
while (subsets.size() > 1) {
    vector<set<int>> new_subsets;
    // 对每个子集使用列生成求解
    for (int i = 0; i < subsets.size(); i++) {
        LP sol = columnGeneration(subsets[i]); // 列生成
        if (solutionIsIntegral(sol)) { // 最优解为整数解，不需要进一步划分
            new_subsets.push_back(subsets[i]);
        } else {
            // 对当前子集进行划分，生成新的子集
            set<int> set1, set2;
            for (auto& var : subsets[i]) {
                if (sol[var] <= 0.5) {
                    set1.insert(var);
                } else {
                    set2.insert(var);
                }
            }
            if (!set1.empty()) new_subsets.push_back(set1);
            if (!set2.empty()) new_subsets.push_back(set2);
        }
    }
    subsets = new_subsets;
}
// 列生成
LP columnGeneration(set<int> vars) {
    LP lp; // 构建线性规划问题
    for (auto& var : vars) {
        lp.addVariable();
        lp.setObjectiveCoeff(var, objectiveCoeffs[var]); // 目标函数系数
        for (auto& constraint : constraints) {
            lp.addConstraint(constraint.coeff(var), constraint.op(), constraint.rhs()); // 添加约束
        }
    }
    return lp.solve(); // 求解
}