yalmip搭建模型 cplex求解 对约束线性化处理的方法

Question

yalmip搭建模型 cplex求解 对约束线性化处理的方法，有以下约束 包含多个变量以及变量乘积 ，2次方，3次方

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在YALMIP中，处理包含二次项和三次项的约束可以通过线性化方法来实现。这里我们可以使用YALMIP的quadexpr和monomials函数来创建这些非线性表达式，并将其转换为线性等价形式。为了实现这一点，我们需要引入辅助变量和额外的线性不等式来近似原问题。

首先，安装并加载CPLEX优化器，确保已经正确配置了MATLAB环境：

% Load YALMIP and CPLEX (if not already loaded)
% install_yalmip % 如果还没安装，可以运行这个命令
% install_cplex % 如果还没安装，可以运行这个命令
% yalmip clear % 清除之前的设置
% sdpsettings('solver','cplex') % 设置默认求解器为CPLEX

接下来，定义决策变量、目标函数和初始约束。假设我们有变量S1, S2, S3, Q1, Q2, Q3，它们都是非负的连续变量：

n = 24;
S1 = sdpvar(n,1); % S1矩阵
S2 = sdpvar(n,1); % S2矩阵
S3 = sdpvar(n,1); % S3矩阵
Q1 = sdpvar(n,1); % Q1矩阵
Q2 = sdpvar(n,1); % Q2矩阵
Q3 = sdpvar(n,1); % Q3矩阵

% 约束：所有变量非负
nonneg_constraints = [S1 >= 0, S2 >= 0, S3 >= 0, Q1 >= 0, Q2 >= 0, Q3 >= 0];

然后，我们将二次项和三次项通过线性化处理。对于每个时间步长k，我们将创建新的辅助变量（例如，A1_k, A2_k, B1_k等）来表示平方项和立方项，同时添加线性不等式来保证这些辅助变量与原始表达式的值相等或接近。以下是线性化的步骤：

% 定义辅助变量
A1 = sdpvar(n,1); % S1^2
A2 = sdpvar(n,1); % S2^2
A3 = sdpvar(n,1); % S3^2
B1 = sdpvar(n,1); % S1^3
B2 = sdpvar(n,1); % S2^3
B3 = sdpvar(n,1); % S3^3

% 线性化不等式
linearization_ineqs = [];
for K = 1:n
    linearization_ineqs = [linearization_ineqs, ...
        A1(K) == S1(K)^2 - 1e-6*(S1(K) + 1e-3) + 1e-6, ... % A1 = S1^2 ± ε
        A2(K) == S2(K)^2 - 1e-6*(S2(K) + 1e-3) + 1e-6, ... % A2 = S2^2 ± ε
        A3(K) == S3(K)^2 - 1e-6*(S3(K) + 1e-3) + 1e-6, ... % A3 = S3^2 ± ε
        B1(K) == S1(K)*A1(K) - 1e-6*(S1(K) + 1e-3) + 1e-6, ... % B1 = S1^3 ± ε
        B2(K) == S2*K*A2(K) - 1e-6*(S2(K) + 1e-3) + 1e-6, ... % B2 = S2^3 ± ε
        B3(K) == S3*K*A3(K) - 1e-6*(S3(K) + 1e-3) + 1e-6]; % B3 = S3^3 ± ε
end

% 更新约束
constraints = [nonneg_constraints, linearization_ineqs];

% 定义目标函数
objective = sum(Ppump);

% 求解优化问题
problem = sdpvar(objective);
[sol,~,exitflag] = solve(problem, constraints, 'solver', 'cplex');

注意：上述代码中的ε值（这里是1e-6和1e-3）是为了确保线性不等式不会过于严格，允许辅助变量与对应的平方项和立方项之间存在一个小的误差。这有助于提高求解效率，但可能会对最终结果产生轻微影响。根据实际情况，您可以调整ε的大小。

此外，由于这是一个多目标优化问题，您可能还需要定义其他目标函数和相应的约束条件。在这个例子中，我仅给出了一个简单的总功率（Ppump）作为目标函数。如果您有其他目标和约束，请提供具体信息，以便我可以进一步帮助您构建完整的模型。