yalmip 搭建模型，cplex求解 线性化处理

Question

yalmip 搭建模型，cplex求解，约束里含有多个变量，变量，需要进行线性化处理（变量乘积，2次方，3次方），上述是复现的代码，以及需要线性化的约束 希望得到一个线性化处理的方法。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在您的问题中，您想要解决的是一个多变量、非线性优化问题，其中包含二次项和三次项。为了使用YALMIP与CPLEX求解，我们需要对这些非线性项进行线性化处理。这里我们将使用 McCormick envelopes 方法来线性化二次项，而对于三次项，我们可以通过引入辅助变量和额外的线性不等式来进行近似。

首先，让我们定义一些辅助变量用于线性化：

1. 对于 ( S_i \cdot Q_j^2 )，我们可以引入新的变量 ( Z_{ij} ) 表示 ( S_i \cdot Q_j^2 )。
2. 对于 ( S_i^3 )，我们可以引入新的变量 ( W_i ) 表示 ( S_i^3 )。

接下来，我们需要添加一组不等式来确保 ( Z_{ij} ) 和 ( W_i ) 的值与它们表示的非线性项相匹配：

对于二次项：( Z_{ij} \geq S_i \cdot Q_j^2 ), ( Z_{ij} \geq -S_i \cdot Q_j^2 + 2 \cdot S_i \cdot Q_j \cdot (S_i + Q_j) ), ( Z_{ij} \leq S_i \cdot Q_j^2 + 2 \cdot S_i \cdot Q_j \cdot (S_i - Q_j) ), ( Z_{ij} \leq S_i^2 \cdot Q_j )

对于三次项：( W_i \geq S_i^3 ), ( W_i \leq S_i^2 \cdot (S_i + 1) )

现在，您可以将这些辅助变量和不等式加入到您的模型中，并使用CPLEX求解器来求解优化问题。下面是经过修改后的代码：

% ... (之前的代码保持不变)

% 初始化辅助变量
Z = sdpvar(size(S1)); % 用于存储 S_i * Q_j^2 的线性化结果
W = sdpvar(size(S1)); % 用于存储 S_i^3 的线性化结果

% 添加线性化不等式
for i = 1:24
    for j = 1:24
        Constraints = [Constraints, Z(i,j) >= S1(i) * Q1(j)^2, ...
                        Z(i,j) >= -S1(i) * Q1(j)^2 + 2 * S1(i) * Q1(j) * (S1(i) + Q1(j)), ...
                        Z(i,j) <= S1(i) * Q1(j)^2 + 2 * S1(i) * Q1(j) * (S1(i) - Q1(j)), ...
                        Z(i,j) <= S1(i)^2 * Q1(j)];
        
        Constraints = [Constraints, Z(i,j) >= S2(i) * Q2(j)^2, ...
                        Z(i,j) >= -S2(i) * Q2(j)^2 + 2 * S2(i) * Q2(j) * (S2(i) + Q2(j)), ...
                        Z(i,j) <= S2(i) * Q2(j)^2 + 2 * S2(i) * Q2(j) * (S2(i) - Q2(j)), ...
                        Z(i,j) <= S2(i)^2 * Q2(j)];
        
        Constraints = [Constraints, Z(i,j) >= S3(i) * Q3(j)^2, ...
                        Z(i,j) >= -S3(i) * Q3(j)^2 + 2 * S3(i) * Q3(j) * (S3(i) + Q3(j)), ...
                        Z(i,j) <= S3(i) * Q3(j)^2 + 2 * S3(i) * Q3(j) * (S3(i) - Q3(j)), ...
                        Z(i,j) <= S3(i)^2 * Q3(j)];
    end
    
    Constraints = [Constraints, W(i) >= S1(i)^3, W(i) <= S1(i)^2 * (S1(i) + 1)];
    Constraints = [Constraints, W(i) >= S2(i)^3, W(i) <= S2(i)^2 * (S2(i) + 1)];
    Constraints = [Constraints, W(i) >= S3(i)^3, W(i) <= S3(i)^2 * (S3(i) + 1)];
end

% 将线性化后的表达式替换原模型中的非线性项
for K = 1:24
    Psh(K) = 16 * W(K) + 18 * W(K+1) + 21 * W(K+2); % 注意索引可能需要根据实际情况调整
    H1(K) = -0.0018 * Q1(K)^2 + 0.3975 * S1(K) * Q1(K) + 24.0400 * S1(K)^2;
    H2(K) = -0.0013 * Q2(K)^2 + 0.2358 * S2(K) * Q2(K) + 27.82 * S2(K)^2;
    H3(K) = -0.0009 * Q3(K)^2 + 0.1709 * S3(K) * Q3(K) + 34.2900 * S3(K)^2;
    P1(K) = -0.0008 * Z(K, K) + 0.3005 * S1(K)^2 * Q1(K) - 5.1760 * W(K);
    P2(K) = -0.0004 * Z(K+1, K+1) + 0.1664 * S2(K)^2 * Q2(K) + 2.6770 * W(K+1);
    P3(K) = 0.0008 * Z(K+2, K+2) - 0.1539 * S3(K)^2 * Q3(K) + 27.2900 * W(K+2);
end

% ... (后续代码保持不变)

这段代码包含了对所有二次项和三次项的线性化处理，然后用线性化后的表达式替换原模型中的非线性项。现在，您可以使用这个修改后的模型与CPLEX一起求解优化问题了。注意，这种方法提供了一个可行的近似解，但可能不是全局最优解，因为线性化过程可能导致了一些可行区域的损失。