抽象代数具体问题请见图片

Question

1、设Za=是整数模8剩余类的集合，定义代数运算：其中m+n是整数的加法。(1)写出 的运算表；(2)对 运算是否作成群?若Z。是群请写出单位元、每个元素的

Answer 1

该回答引用自GPT-3.5,由博主GISer Liu编写：

首先，我们需要理解题目的要求和背景信息。题目中给出了一个代数结构，Z8，即整数模8的剩余类的集合。代数运算定义为两个元素的加法。我们的任务是回答两个问题：

1. 写出Z8的代数运算表。
2. 判断Z8是否构成一个群，并在是群的情况下，写出单位元、每个元素的逆元。

解决思路与方案：

1. 代数运算表： 由于Z8是整数模8的剩余类的集合，我们需要考虑每个剩余类的代表元素。根据题目描述，Z8包括的元素是0,1,2,3,4,5,6,70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70,1,2,3,4,5,6,7。对于每对元素a,ba, ba,b，我们进行加法运算，并取模8，即a+bmod 8a + b \mod 8a+bmod8。这样就可以得到Z8的代数运算表。
2. 判断是否构成群： 要判断Z8是否构成群，我们需要验证以下四条性质：

• 封闭性：对于任意a,b∈Z8a, b \in Z8a,b∈Z8，a+bmod 8a + b \mod 8a+bmod8也属于Z8。
• 结合律：对于任意a,b,c∈Z8a, b, c \in Z8a,b,c∈Z8，(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c)。
• 存在单位元：存在一个元素eee，对于任意a∈Z8a \in Z8a∈Z8，a+e=e+a=aa + e = e + a = aa+e=e+a=a。
• 存在逆元：对于每个a∈Z8a \in Z8a∈Z8，存在一个元素a−1a^{-1}a−1，使得a+a−1=a−1+a=ea + a^{-1} = a^{-1} + a = ea+a−1=a−1+a=e。
  如果以上四个条件都满足，则Z8构成一个群。
  现在我们来逐步解决这些问题。

1. 代数运算表：

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	0
2	2	3	4	5	6	7	0	1
3	3	4	5	6	7	0	1	2
4	4	5	6	7	0	1	2	3
5	5	6	7	0	1	2	3	4
6	6	7	0	1	2	3	4	5
7	7	0	1	2	3	4	5	6
2. 判断是否构成群：

• 封闭性：从代数运算表可以看出，任意两个Z8中的元素进行加法后的结果仍然是Z8中的元素，所以封闭性成立。
• 结合律：整数加法满足结合律，因此Z8中的加法运算也满足结合律。
• 存在单位元：根据运算表，我们可以看到0是加法单位元，因为对于任意a∈Z8a \in Z8a∈Z8，a+0=0+a=aa + 0 = 0 + a = aa+0=0+a=a。
• 存在逆元：对于每个a∈Z8a \in Z8a∈Z8，都存在相应的逆元，例如aaa的逆元为8−a8 - a8−a。例如，111的逆元为777，222的逆元为666，以此类推。
  因此，根据以上分析，Z8构成一个群，单位元是0，每个元素的逆元可从上面的表中看出。
  希望这个解答能够帮助你理解和解决问题。

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