不定积分求解计算不定积分

Question

看到一点思路都没有，有没有佬教教我怎么一看到不定积分就有思路，总结不定积分不同类型的方法

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要解决这个不定积分问题，我们首先回顾一些基本的积分技巧和公式。对于给定的问题，我们需要找到函数 ( f(x) = x^p ) 的不定积分，其中 ( p ) 是一个实数。

不定积分的一般形式是求函数 ( F(x) ) 使得 ( F'(x) = f(x) )，也就是说，( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的原函数。对于幂函数 ( x^n )，其不定积分有一个标准的形式：

[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 ]

这里 ( C ) 是积分常数。

根据上述规则，我们可以直接对 ( x^p ) 进行积分：

[ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C ]

但是要注意，当 ( p = -1 ) 时，情况会有所不同，因为 ( x^{-1} ) 可以写作 ( \frac{1}{x} )，它的积分是自然对数：

[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C ]

所以，如果你的题目中的 ( p \neq -1 )，那么答案就是：

[ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C ]

如果你的题目中的 ( p = -1 )，则答案是：

[ \int x^{-1} dx = \ln|x| + C ]

这就是解决此类幂函数不定积分的基本方法。在处理更复杂的函数时，可能需要用到分部积分、换元法、三角恒等式或其他积分技巧。通过大量的练习，你会逐渐熟悉不同类型的函数及其对应的积分技巧。如果在具体应用中有困难，可以提供具体的函数，我会进一步指导你如何进行积分。