光热发电的能量汇聚 求解

Question

一种太阳能光热发电的能量汇聚系统简化后如图 1 所示。平行光线先经过若干个长度不超过 2.5 的直线段反射到曲线EF 上，再经过曲线 EF 反射后汇聚到直线段 CD 上。已知 AB 的长度为 400，CD 的长度为 10，OG 的高度为 100。请设计曲线 EF 的长度和形状，在设计好曲线 EF 后，给出下列问题的解答。问题 1 当入射的平行光线与 AB 的夹角为 90 度时，请安排长度不超过 2.5的直线段的数量、每个直线段的位置和角度，使得与 AB 垂直的光线经过两次反射后进入 CD 区间内的比例最大。问题2 当入射的平行光线与 AB 的夹角从 45 度变化到 90 度的过程中，请给出长度不超过 2.5 的直线段的数量、位置和角度的调整方案，使得光线经过两次反射后进入 CD 区间内的比例最大。问题3 能否将长度为不超过 2.5 的直线段改为长度不超过 2.5 的光滑曲线，通过对每一段长度不超过 2.5 的光滑曲线形状和位置的设计以及角度变化的调整，使得当入射平行光线与 AB 的夹角从 45 度变化到 90 度的过程中，光线经过两次反射后进入 CD 区间的比例有所提高？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要解决这个问题，我们首先需要理解基本的光学原理，特别是反射定律（入射角等于反射角）。基于题目描述，我们可以采用以下策略进行分析和设计。

问题1 解答思路

曲线EF的设计

考虑到光线从AB垂直入射的情况（即90度），为了最大化进入CD区间的光线比例，曲线EF应设计为使所有光线在第一次反射后能沿同一方向射向CD，理想情况下这要求EF为一段直线且与AB平行。但实际操作中，我们需要考虑直线段的限制，因此EF设计需确保与AB保持一定角度，以便于利用多个小直线段组合模拟近似直线的效果。对于这个特定情况，EF可设计为几乎水平，略向下倾斜以适应直线段的布局。

直线段的布置

• 数量与长度：由于每个直线段最长2.5，而AB长度为400，理论上可以放置最多400 / 2.5 = 160个直线段，但实际上不需要这么多，因为我们要的是高效汇聚而非简单覆盖。
• 位置与角度：为了最大化反射效率，假设EF近似水平，那么每个直线段应垂直于AB放置，确保光线反射后能沿大致相同方向。但由于长度限制，实际上会有一些微小的角度调整以连续覆盖EF的长度。

问题2 解答思路

随着入射角从45度变化到90度，直线段的布局和角度需要相应调整以维持高效的能量汇聚。主要策略是：

• 动态调整角度：随着入射角变大，直线段的倾斜角度应逐渐减小，以确保光线在第一次反射后仍能有效地朝向CD区域汇聚。
• 数量与位置：保持直线段覆盖整个EF的长度，根据入射角的变化微调各段的位置，可能需要通过计算确定最佳的布局，以适应不同角度下的反射路径。

问题3 解答

将直线段改为光滑曲线理论上可以提高光线汇聚的效率，因为光滑曲线可以更精确地控制光线的反射方向，减少能量损失。具体设计方法如下：

• 曲线形状设计：采用数学模型（如贝塞尔曲线或圆弧段）设计每段光滑曲线，确保在不同入射角下，曲线能精确引导光线向CD汇聚。
• 参数化调整：对每段曲线的形状和位置参数化，通过优化算法（如梯度下降）寻找在不同入射角下最大化光线汇聚比例的最优参数集合。

实现建议

由于直接提供完整的代码实现较为复杂，且涉及到大量的几何计算和优化算法应用，这里给出一个简化的示例框架，实际应用中需要进一步细化和优化。

# 示例框架：参数化设计光滑曲线
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def reflectivity_curve_params(theta_incidence):
    """定义优化目标函数和参数，用于找到最优曲线参数"""
    def objective(params):
        # 根据曲线参数计算反射后的光线位置，评估进入CD区间的比例
        # 这里需要具体的数学表达式和评估逻辑
        pass
    
    # 初始参数设置，例如曲线的控制点坐标等
    init_params = np.random.rand(?)  # 根据实际设计的参数维度决定
    res = minimize(objective, init_params, method='L-BFGS-B')
    optimal_params = res.x
    return optimal_params

# 针对问题2，遍历不同入射角进行优化
for theta in np.arange(45, 91, 1):  # 从45度到90度
    optimal_curve_params = reflectivity_curve_params(np.radians(theta))
    # 应用优化后的参数设计曲线，具体实现细节略

注意，上述代码仅为一个概念性框架，实际应用中需要根据具体的物理模型和几何关系，设计合适的数学表达式来准确计算光线反射路径和优化曲线参数。此外，实际的光线追踪和反射效率计算可能需要更专业的光学仿真软件或库来完成，比如使用Ray Tracing算法进行精确模拟。