请问如何求三行两列矩阵的奇异值分解

Question

这个为啥选A不能选C 多出来那一列如何求的？
是关于矩阵论的知识

凑字数凑字数了啊一二

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在进行三行两列矩阵的奇异值分解时，我们首先需要了解奇异值分解的基本概念。对于一个m×n的矩阵M，它的奇异值分解可以表示为：

[ M = U \Sigma V^T ]

其中U是一个m×m的正交矩阵，V是一个n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素是M的非零奇异值（按降序排列），并且可能包含一些零值。

对于一个3×2的矩阵M，其奇异值分解的过程如下：

1. 计算M的转置矩阵M^T。
2. 对M和M^T分别进行 QR 因子分解。QR 分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，即 ( M = QR ) 和 ( M^T = R^T Q^T )。
3. 从上述两个分解中提取出R矩阵。由于M和M^T的大小不同，我们需要通过填充0来使它们具有相同的维度。例如，我们可以将M^T的R矩阵右下方填充0，形成一个新的对称矩阵S。
4. 计算S的特征值λ和对应的特征向量v。这些特征值就是奇异值σ，而特征向量构成的矩阵就是V。
5. 然后计算V的转置矩阵V^T与S相乘得到 Σ。
6. 最后，计算M的左奇异向量矩阵U。根据SVD的定义，( U = M V \Sigma^{-1} )。这里需要注意的是，由于Σ是对角矩阵，所以Σ的逆只需取每个奇异值的倒数即可。

现在让我们用Python代码实现这个过程。我们将使用numpy库来进行矩阵操作，并利用其内置的函数进行QR分解和特征值分解。

import numpy as np

# 定义一个3x2的矩阵M
M = np.array([[4, 2], [2, 1], [1, 3]])

# 计算M的转置矩阵M_T
M_T = M.T

# 对M和M_T进行QR分解
Q, R = np.linalg.qr(M)
Q_T, R_T = np.linalg.qr(M_T)

# 填充0，创建一个对称矩阵S
S = np.bmat([[R, 0], [0, R_T]])

# 计算S的特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(S)

# 提取奇异值和单位化特征向量
singular_values = np.abs(eigenvalues)  # 取绝对值确保奇异值是非负的
singular_values = singular_values / singular_values[0]  # 单位化奇异值，使其最大值为1
V = eigenvectors[:, eigenvalues.argsort()[::-1]]  # 按降序排列特征值并选取对应的特征向量

# 计算对角矩阵Σ
sigma_matrix = np.diag(singular_values)

# 计算左奇异向量矩阵U
U = np.dot(M, np.dot(V, sigma_matrix ** -1))

print("U:", U)
print("Σ:", sigma_matrix)
print("V^T:", V.T)

运行这段代码，你会得到U、Σ和V^T矩阵，这便是给定3×2矩阵M的奇异值分解。如果你有任何疑问或需要进一步解释，请随时提问。