一则关于MATLAB信息解密与加密的问题

Question

密钥矩阵在模26意义下的逆矩阵
破译代码
甲方传递情报的实际内容

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，让我们逐步解决这个问题。

(1) 密钥矩阵在模26意义下的逆矩阵

密钥矩阵是：

[5, 4]

在模26的意义下，我们需要找到这个矩阵的逆矩阵。对于一个2x2矩阵A = [a, b; c, d]，其逆矩阵可以通过下面的公式计算得到：

[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} ]

其中 ad - bc 必须不等于0（即行列式非零），并且所有的元素都需要取模26。在这个例子中，由于矩阵较小且简单，我们可以直接计算其逆矩阵。行列式为 (5 \times 4 - 4 \times 5 = 0)，这意味着矩阵在模26下没有逆矩阵。在HILL密码中，这是不允许的，因为这意味着无法进行正常的解密。然而，通常我们会选择一个可逆的密钥矩阵，例如 [5, 3; 17, 11]，它的行列式为 5 * 11 - 3 * 17 = 2，在模26下是可逆的。

(2) 破译甲方传递情报的实际内容

既然我们已经知道原始的密钥矩阵不可逆，因此无法通过标准的HILL算法破译密文 IVKL。不过，这个问题可能是在测试对HILL密码的理解，而不是实际应用。在实际情况下，密钥会选择使得行列式非零的矩阵。在这种情况下，我们应该选择一个新的可逆密钥矩阵，并展示如何进行破译步骤。

(3) 写出相应的破译代码

由于原问题中的密钥矩阵不可逆，这里我们将使用一个可逆的例子来演示破译代码。假设我们有可逆的密钥矩阵 [5, 3; 17, 11] 和密文 IVKL。以下是使用Python实现的HILL密码的加密/解密函数：

def hill_cipher(text, key, operation='encrypt'):
    # 将文本转换为数字
    text_num = [ord(char.lower()) - ord('a') for char in text]
    
    # 分组并处理边缘情况
    n = len(key)
    text_groups = [text_num[i:i+n] for i in range(0, len(text_num), n)]
    if len(text_groups[-1]) < n:
        text_groups[-1].extend([0] * (n - len(text_groups[-1])))

    # 对于每个组执行加密/解密操作
    result = []
    for group in text_groups:
        matrix_group = [[group[i], group[i+1]] for i in range(0, len(group), 2)]
        if operation == 'encrypt':
            encrypted_group = [sum(a*b % 26 for a, b in zip(row, key)) % 26 for row in matrix_group]
        elif operation == 'decrypt':
            inv_key = get_inverse_matrix(key, 26)
            decrypted_group = [sum(a*b % 26 for a, b in zip(row, inv_key)) % 26 for row in matrix_group]
        else:
            raise ValueError("Invalid operation. Choose either 'encrypt' or 'decrypt'.")
        
        result.extend(decrypted_group if operation == 'decrypt' else encrypted_group)

    # 转换回字符
    decoded_text = ''.join(chr(num + ord('a')) for num in result)

    return decoded_text

# 计算逆矩阵的辅助函数
def get_inverse_matrix(matrix, mod):
    det = matrix[0][0]*matrix[1][1] - matrix[0][1]*matrix[1][0]
    if det == 0:
        raise ValueError("Matrix is not invertible.")
    inv_det = pow(det, mod - 2, mod)
    inv_matrix = [
        [matrix[1][1]*inv_det % mod, -matrix[0][1]*inv_det % mod],
        [-matrix[1][0]*inv_det % mod, matrix[0][0]*inv_det % mod]
    ]
    return inv_matrix

# 使用示例
key = [[5, 3], [17, 11]]
plaintext = "ivkl"
ciphertext = hill_cipher(plaintext, key, 'encrypt')
print(f"Ciphertext: {ciphertext}")
decrypted_text = hill_cipher(ciphertext, key, 'decrypt')
print(f"Decrypted Text: {decrypted_text}")

这段代码定义了一个名为 hill_cipher 的函数，用于加密和解密文本。它还包含一个辅助函数 get_inverse_matrix 来计算逆矩阵。请注意，这段代码仅适用于HILL2密码，即2x2矩阵。对于更大的矩阵，你需要相应地调整代码。

由于原始问题中的密钥矩阵不可逆，我们不能在这里提供实际的解密结果。但在实践中，你应该选择一个可逆的密钥矩阵来进行加密和解密。