证明此不定式可以直接泰勒展开吗

Question

如图，第一题，不构造函数展开左项和右比较可以吗？如果不可以的话为什么？可以的话x_0怎么选择

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

当然，让我们逐一解决您的问题。

首先，对于您的第一个问题，关于是否可以直接对给定的不定式进行泰勒展开。在数学分析中，泰勒级数通常用于定义在某一点附近连续可微的函数。如果一个函数在某一点x₀及其邻域内都是可微的，并且它的高阶导数也存在，那么这个函数就可以在其任意阶的泰勒公式中展开。因此，为了证明某个不定式可以直接泰勒展开，我们需要检查它是否满足这些条件。

对于具体的问题（1）到（4），我们分别考虑每个函数的性质：

1. 对于 ( f(x) = x^3 \ln x )，当 ( x = 1 ) 时，函数是连续可微的，并且其高阶导数在 ( x = 1 ) 处都存在，所以可以在 ( x_0 = 1 ) 处展开至四阶，得到拉格朗日余项。
2. 对于 ( f(x) = \arctan x )，它在整个实数范围内都是连续可微的，所以在 ( x_0 = 0 ) 处可以展开至三阶，得到佩亚诺余项。
3. 对于 ( f(x) = e^{nx} )，同样在整个实数范围内都是连续可微的，所以可以在 ( x_0 = 0 ) 处展开至三阶，得到佩亚诺余项。
4. 对于 ( f(x) = \ln \cos x )，注意当 ( x \neq k\pi )（其中 ( k ) 是整数），函数是连续可微的。在 ( x_0 = 0 ) 处，我们可以展开至六阶，得到佩亚诺余项。然而，由于 ( \cos x ) 在 ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ) 处有间断，所以在 ( x_0 = 0 ) 处展开时要小心，确保讨论的区间避开这些点。

对于第13题，您提到了函数 ( f(x) = a^2 - ax ) 的驻点问题。驻点是指函数的一阶导数等于零的点。对于这个函数来说，一阶导数为 ( f'(x) = 2a - a )。解方程 ( f'(x) = 0 )，得到驻点 ( x_a = 2 )。但是，这里有一个误解：驻点不是随着 ( a ) 变化而变化的，而是固定的。因为 ( x_a ) 不依赖于 ( a )，这意味着对于任何 ( a > 1 )，驻点 ( x_a ) 都是相同的。

如果您需要具体的泰勒展开步骤、不等式的证明，或者图形表示，请随时告诉我，我会提供详细的解答和相应的代码。