求解二维拉普拉斯方程

Question

3、求二维拉普拉斯方程
aน aน
Au-
ax2 ay2
在边界条件u(x,y)|x=)=0,
u(x,y)le,=10,u(x,v)),,=0,u(x,y)l,-2=10下的数值解，取．
(h=t=1)

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了求解二维拉普拉斯方程 ( \Delta u = 0 )，我们可以使用有限差分法。在这个方法中，我们将连续区域离散化为网格，并对偏微分方程进行近似。这里我们采用中心差分法，对于一阶导数的近似公式是：

[ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1,j} - u_{i-1,j}}{2h}, ] [ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2}. ]

类似地，对于y方向的一阶和二阶导数，我们有：

[ \frac{\partial u}{\partial y} \approx \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j-1}}{2h}, ] [ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2}. ]

给定边界条件：

• ( u(x, y)|_{x=0} = 0 )
• ( u(x, y)|_{x=6} = 10 )
• ( u(x, y)|_{y=0} = 0 )
• ( u(x, y)|_{y=-2} = 10 )

我们可以将这些条件应用于离散化的网格上。由于题目中的边界条件包含负值y坐标（( y=-2 )），这可能意味着存在一个错误，因为通常我们会考虑非负y轴。然而，我会按照题目的描述处理这个问题。

让我们构建一个5x5的网格（总共25个点）来进行计算，尽管实际的边界条件可能需要更大的网格。在这种情况下，由于 ( h = t = 1 )，我们有：

• 网格大小：5x5 (从(0,0)到(4,4))
• 边界条件：( u(0,y) = 0 ), ( u(4,y) = 10 ), ( u(x,0) = 0 ), ( u(x,-2) = 10 )

接下来，我们将用Python编写一个简单的程序来实现这个计算。这里使用了numpy库进行数组操作。

import numpy as np

# 设置网格尺寸和步长
grid_size = 5
h = 1

# 创建网格
x = np.linspace(0, grid_size*h, grid_size)
y = np.linspace(-2, h, grid_size)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 初始化网格上的函数值
U = np.zeros_like(X)

# 应用边界条件
U[0,:] = 0
U[-1,:] = 10
U[:,0] = 0
U[:,-1] = 10

# 二维拉普拉斯算子的中心差分近似
laplacian_matrix = np.diag(np.ones(grid_size - 2), k=1) \
                - 2 * np.diag(np.ones(grid_size), k=0) \
                + np.diag(np.ones(grid_size - 2), k=-1)

# 将边界条件应用到拉普拉斯矩阵上
laplacian_matrix[0,:] = 0
laplacian_matrix[0,-1] = 10
laplacian_matrix[-1,:] = 0
laplacian_matrix[:,0] = 0
laplacian_matrix[:,-1] = 10

# 解线性系统 U = L^-1 * b，其中L是拉普拉斯矩阵，b是一个全零向量
from scipy.sparse import linalg
U = linalg.spsolve(laplacian_matrix, np.zeros_like(U))

# 输出结果
print("Solution matrix:")
print(U)

注意：这个方法仅适用于较小的网格和简化的问题。对于较大的网格和更复杂的边界条件，你可能需要使用更高效的数值方法，例如多层网格或迭代法，以及专门的数值软件包，如FEniCS或COMSOL Multiphysics。此外，这里的实现没有考虑到矩阵的稀疏性，这在大规模问题中是非常重要的优化。