关于IIR滤波器的设计

Question

画出一个由50Hz，350Hz，400Hz正弦信号构成的信号，采样率为1000Hz，利用Matlab计算它的DFT并画出它的幅频特性曲线。
如果信号受随机噪声干扰，对信号加噪并分析时频特性。
设计合适的滤波器，将上述50Hz，350Hz，400Hz三个正弦信号分离，画出IIR滤波器的幅度响应及相位响应

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，我们将按照您的要求分步骤完成任务。以下是详细的步骤和代码实现：

第一步：创建信号

我们首先创建一个包含50Hz、350Hz和400Hz正弦信号的复合信号，并设定采样率为1000Hz。

Fs = 1000; % Sampling rate (Hz)
t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % Time vector (seconds)

f1 = 50; % First frequency (Hz)
f2 = 350; % Second frequency (Hz)
f3 = 400; % Third frequency (Hz)

x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t) + sin(2*pi*f3*t); % Signal with three sine waves

figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Original Signal');

第二步：计算DFT并绘制幅频特性

接下来，我们计算信号的离散傅里叶变换（DFT）并绘制其幅频特性。

NFFT = 2^nextpow2(length(x)); % Next power of 2 for DFT
X = fft(x, NFFT)/length(x); % Normalized DFT
frequencies = Fs*(0:(NFFT-1))/NFFT; % Frequency vector

figure;
plot(frequencies, abs(X));
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');
title('Original Signal''s Amplitude Spectrum');

第三步：添加随机噪声

为了增加随机噪声，我们可以使用MATLAB内置函数awgn。假设我们要在信噪比(SNR)为20dB的情况下添加噪声。

SNR_dB = 20; % SNR in dB
SNR = 10^(SNR_dB/10); % Convert to linear scale
noise_power = var(x)/(SNR); % Noise power calculation
n = sqrt(noise_power)*randn(size(x)); % Additive white Gaussian noise

x_noisy = x + n;

figure;
plot(t, x_noisy);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Noisy Signal');

第四步：设计IIR滤波器

设计滤波器通常涉及到选择适当的滤波器类型（低通、高通、带通或带阻），以及确定截止频率和滚降率等参数。这里我们设计一个带通滤波器来分离50Hz、350Hz和400Hz的信号。

% Design a bandpass filter using butterworth function
order = 4; % Filter order
fc1 = 40; % Lower cutoff frequency (Hz)
fc2 = 460; % Upper cutoff frequency (Hz)

[b, a] = butter(order, [fc1/(Fs/2), fc2/(Fs/2)], 'band'); % Butterworth filter coefficients

figure;
[H, w] = freqz(b, a, 1024, Fs); % Frequency response of the filter
plot(w/pi, 20*log10(abs(H)));
hold on;
plot([f1/fc2, f1/fc2], [-120, 0], '--r', [f3/fc2, f3/fc2], [-120, 0], '--r');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Filter Magnitude Response');
legend('Filter Magnitude', 'Passband Frequencies');

第五步：应用滤波器并分析结果

现在，我们将使用设计好的滤波器对噪声信号进行处理，并分析其时频特性。

y = filter(b, a, x_noisy);

figure;
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Filtered Noisy Signal');

% Analyze time-frequency representation using Short-Time Fourier Transform (STFT)
window_size = round(Fs*0.1); % Window size (samples)
overlap = window_size/2; % Overlap (samples)
stft_y = stft(y, hamming(window_size), overlap, window_size, Fs);

figure;
surf(linspace(0, length(y)-window_size+1, size(stft_y, 2)), ...
    linspace(0, Fs/window_size, size(stft_y, 1)), 20*log10(abs(stft_y)));
xlabel('Time (samples)');
ylabel('Frequency (Hz)');
zlabel('Magnitude (dB)');
title('Signal''s STFT after Filtering');
colormap jet;
colorbar;

以上就是根据您的需求完成的所有步骤。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。